Линейно пространство

от Уикипедия, свободната енциклопедия

В математиката, линейно пространство (или векторно пространство) е съвкупност от обекти (наричани вектори) които могат да бъдат умножавани с число или събирани. По-точно, линейно пространство е множество за което са дефинирани две операции, наричани (векторно) събиране и умножение с число и които изпълняват няколко естествени аксиоми описани по-долу. Линейните пространства са основния обект с който се занимава линейната алгебра, и имат широко приложение в математиката, природните и инжинерните науки.

Най-познатите линейни пространства са двумерните и тримерните евклидови пространства. Векторите в тези пространства са наредени двойки или тройки от реални числа и често се представят с помощта на насочени отсечки. Тези вектори могат да бъдат събирани използвайки правилото на успоредника, или умножавани с реални числа. Поведението им под действието на горните опрации дава добър интуитивен модел за поведението на вектори в по-общи линейни пространства, които не е нужно да имат геометрична интерпретация. Например множеството на полиномите с реални коефициенти образува линейно пространство.

[редактиране] Формална дефиниция

Нека F е поле чийто елементи ще наричаме числа (например реалните или комплексните числа). Нека също V е непразно множество чийто елементи ще наричаме вектори. Нека във V са въведени операциите:

събиране на вектори, която на всеки два вектора v и w съпоставя вектор, който се означава с v + w, и
умножение на вектор с число, която на вектора v и числото λ съпоставя вектор, който се означава с λv.

Казваме, че V е линейно пространство над полето F, ако за така дефинираните операции са изпълнени следните аксиоми:

Събирането е асоциативно:
ако u, v, w ∈ V, то u + (v + w) = (u + v) + w.
Събирането е комутативно:
ако v, w ∈ V, то v + w = w + v.
Съществува вектор 0∈V, за който:
v + 0 = v за всеки вектор v.
Този елемент се нарича нулев вектор и може да се докаже, че е единствен.
За всеки вектор v съществува вектор w, за който е изпълнено:
For all v + w = 0.
w се нарича противоположен на v, отбелязва се с -v и също може да се докаже, че е единствен.
За всеки два вектора v и w и за всяко число λ е изпълнено:
λ (v + w) = λ v + λ w.
За всеки вектор v и всеки две числа λ и μ е изпълнено:
(λ + μ) v = λ v + μ v.
За всеки вектор v и всеки две числа λ и μ е изпълнено:
λ (μ v) = (λμ) v.
За всеки вектор v е изплълнено:
1 v = v, където с 1 означаваме единичния елемент на F.

Формално, тези аксиоми съвпадат с аксиомите за модул така, че линейно пространство може да се дефинира като модул над поле. Следователно векторните пространства са пример за модули.

[редактиране] Елементарни свойства

Следните свойства следват лесно от аксиомите за линейно пространство.

Нулевият вектор 0 ∈ V е единствен:
Ако за 0₁∈ V е изпълнено 0₁ + v = v, за всеки вектор v ∈ V, то 0₁ = 0.
Резултатът от умножаване на нулевия вектор с число е нулевия вектор:
За всяко λ ∈ F, имаме λ 0 = 0.
При умножение на вектор с числото 0 се получава нулевия вектор:
За всеки v ∈ V, е вярно 0 v = 0.
В никой друг случай при умножение на вектор с число не се получава нулевия вектор:
λ v = 0 тогава и само тогава, когато λ = 0 или v = 0.
Противоположният вектор −v на вектора v е единствен:
Ако w₁ и w₂ са противоположни на v, тоест v + w₁ = 0 и v + w₂ = 0, то w₁ = w₂. Противоположния вектор се означава с −v. С негова помощ се дефинира разлика на два вектора: w − v ≡ w + (−v).
При умножение на вектор с -1 се получава противоположния му вектор:
За всеки v ∈ V, е изпълнено (−1) v = −v.
Операцията отрицание комутира:
За всяко число λ ∈ F и всеки вектор v ∈ V, е изпълнено (−λ) v = λ (−v) = − (λ v).

[редактиране] Примери

Най-простия пример за линейно пространство над произволно поле е пространството съдържащо само нулевия елемент - {0}. Също така полето F е линейно пространство над себе си - лесно се проверява, че аксиомите са изпълнени за стандартните действия събирание и умножение (например множеството на реалните числа е линейно пространство над себе си).

Един от най-важните примери за линейно пространство е координатното пространство дефинирано по следния начин. Нека F е поле, а n е естествено число. Множеството от наредените n-торки числа от F образува линейно пространство и се отбелязва с Fⁿ, ако дефинираме операциите събиране и умножение с число по следния начин. Нека

$x := (x_1, x_2, \ldots, x_n)\ , y = (y_1,y_2, \ldots, y_n)$

са елементи на Fⁿ, където x_i и y_i са числа от F. Нека още λ∈ F. Дефинираме

$x + y := (x_1 + y_1, x_2 + y_2, \ldots, x_n + y_n) \,$ ,

$\lambda x := (\lambda x_1, \lambda x_2, \ldots, \lambda x_n) \,$

Тези операции изпълняват горните аксиоми, като нулевия елемент е

$0 = (0, 0, \ldots 0),$

а противоположния на x е

$-x = (-x_1, -x_2, \ldots, -x_n)$ .

Най-голямо приложение намират реалното координтатно пространство Rⁿ (особено R² и R³) и комплексното координтатно пространство Cⁿ.

Друг пример е множеството на всички полиноми на една променлива с реални коефициенти. Там събирането и умножението по число са дефинирани по стандартния начин, а нулевия елемент е полиномът P(x)≡0. Множеството на всички функции дефинирани над фиксирано множество и приемащи стойности в множеството на реалните числа е линейно пространство над полето на реалните числа.

[редактиране] Подпространство и базис

При дадено линейно пространство V, непразно подмножество W на V се нарича линейно подпространство, ако е затворено относно операциите събиране и умножение с число (тоест сумата на два вектора от W и произведението на вектор от W с число са елементи на W). Подпространствата на V са самите те линейни пространства (над същото поле). Сечението на всички подпространства съдържащи дадено множество вектори се нарича линейна обвивка на това множество. Ако при премахването на който и да е вектор от множество от вектори неговата линейна обвивка се променя, казваме, че векторите в това множество са линейно независими. Линейно независимо множество от вектори, чиято обвивка е цялото линейно пространство се нарича базис. Например в R³ множеството

$A = \{(0,x,y) | x\in \mathbb{R}, y\in \mathbb{R}\}$

е линейно подпространство на R³. Множеството ${(0,1,0),(0,0,1)}$ е линейно независимо, докато ${(0,1,0),(0,0,1),(0,0,2)}$ не е, защото линената обвивка и на двете множества е множеството A. Един възможен базис на R³ е множеството ${(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}$ .

Всички базиси на едно линейно пространство са равномощни. Ако линейното пространство има краен базис, то се нарича крайномерно, а броя на елементите в базиса се нарича размерност на пространството. Така например R³ е крайномерно пространство с размерност 3. По-общо, всички координатни пространства Fⁿ са крайномерни с размерност n. Когато базиса има безкраен брой елементи, пространството се нарича безкрайномерно. Такива например са пространствата на полиноми и функции дефинирани по-горе. Пример за базис на пространството от полиниоми на една променлива е множеството ${1, x, x 2, x 3,..., x n,...}$ , което е безкрайно.

Базисът дава възможност всеки вектор да се изрази чрез наредена n-торка числа, наричана координати на вектора спрямо фиксирания базис. Например спрямо базиса $\{(1,1,0),\ (0,1,0),\ (0,0,1)\}$ , вектора $(1,2,3)$ има за координати числата 1,1 и 3, защото

$(1,2,3) = 1(1,1,0)\ +\ 1(0,1,0)\ +\ 3(0,0,1)$ .

[редактиране] Линейни изображения

Линейно изображение е изображение, между две (може и съвпадащи) линейни пространства над едно и също поле, което запазва тяхната структура. По-точно, нека V и W са линейни пространства над полето F, а $l:V\rightarrow W$ e функция. Казваме, че l е линейно изображение, ако за произволни вектори u,v ∈ V и произволно число λ ∈ F е изпълнено:

$l(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = l(\mathbf{u}) + l(\mathbf{v})$ и

$l(\lambda \mathbf{u}) = \lambda l(\mathbf{u})$ .

Множеството на всички линейни изображения от V в W също е линейно пространство над F. Когато са фиксирани базиси над V и W, линейните изображения могат да се изразят с помощта на матрици.

Линейно изображение което е едновременно и биекция се нарича линеен изоморфизъм. Ако съществува изоморфизъм между две линейни пространства, те се наричат изоморфни; от гледна точка на линейната алгебра двете пространства са еквивалентни.

[редактиране] Допълнителни структури

Често се изучават линейни пространства които притежават допълнителни структури. Целта им обикновено е обобщаването на стандартни понятия от геометрията.

Реално или комплексно линейно пространство с добре-дефинирано понятие дължина, или с други думи норма, се нарича нормирано линейно пространство.
Нормирано линейно пространство за което е добра дефинирано понятието ъгъл се нарича пространство със скаларно произведение.
Линейно пространство, което притежава топология съвместима с дефинраните операции (тоест такава, че събирането и умножението на вектор с число да бъдат непрекъснати) се нарича топологично линейно пространство.
Линейно пространство с билинеен оператор (тоест умножение, което на два вектора съпоставя трети) се нарича алгебра над поле'.

[редактиране] Литература

Пламен Сидеров. Записки по алгебра; Линейна алгебра, изд. Веди, София, 2001.
Кирил Дочев, Димитър Димитров. Линейна алгебра, изд. Наука и Изкуство, София, 1973.