Hyperbola
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Hyperbola je rovinná křivka, kuželosečka s výstředností větší než 1. Lze ji také definovat jako množinu všech bodů v rovině o daném rozdílu vzdáleností od dvou pevných ohnisek.
Hyperbola také tvoří graf funkce y = 1 / x v kartézské soustavě souřadnic.
Tvar hyperboly má dráha tělesa v poli centrální síly (gravitační nebo elektrické pole vytvořené tělesem, které lze aproximovat bodem - tuto aproximaci lze beze ztráty přesnosti udělat po všechna sféricky symetrická tělesa pro prostor mimo jejich vnitřek), pokud je rychlost tohoto tělesa vyšší, než je úniková rychlost.
Obsah |
[editovat] Matematická vyjádření
Implicitní vyjádření
Množina všech bodů X v rovině, které mají od dvou různých ohnisek F1 a F2 konstantní (neměnnou) absolutní hodnotu rozdílu vzdáleností.
[editovat] Kartézský souřadnicový systém
Standardní popis hyperboly:
S[m, n] - Střed hyperboly o souřadnicích m, n
F1, F2 - ohniska hyperboly
A, B - vrcholy hyperboly
o1 - hlavní osa hyperboly
o2 - vedlejší osa hyperboly
p1, p2 - asymptoty hyperboly
- délka hlavní polosy
- délka vedlejší polosy
excentricita
- délka hlavní osy
- délka vedlejší osy
X[x, y] - libovolný bod náležící hyperbole
[editovat] Charakteristické rovnice hyperboly dle jejího umístění
- Hlavní osa o1 hyperboly rovnoběžná s osou x
- Středová rovnice:
- Obecná rovnice:
- Rovnice asymptot:
- Rovnice tečny v bodu T[x0, y0]:
- Hlavní osa o1 hyperboly rovnoběžná s osou y
- Středová rovnice:
- Obecná rovnice:
- Rovnice asymptot:
- Rovnice tečny v bodu T[x0, y0]:
- Asymptoty p1 a p2 rovnoběžné s osami x a y
- Středová rovnice:
- Obecná rovnice:
- Rovnice asymptot:
[editovat] Převedení obecné rovnice na středovou
Uspořádáme členy v rovnici.
Z prvních dvou členů vytkneme dvojku(Koeficient) a doplníme je na druhou mocninu dvojčlennu. To samé provedeme i u následujících dvou členů, s tím rozdílem, že vytkneme mínus.
Dále upravujeme rovnici tak, aby odpovídala středovému tvaru.
Z výsledné rovnice snadno zjistíme vlastnosti hyperboly.
Jedná se o hyperbolu, jejíž hlavní osa o1 je rovnoběžná s osou x.
, , , ,
[editovat] Vzájemná poloha hyperboly a přímky
Řešíme soustavu rovnic hyperboly a přímky. Jestliže vyjde lineární rovnice, která popisuje přímku rovnoběžnou s jednou z asymptot - přímka je sečnou hyperboly s jedním průsečíkem. Pakliže lineární rovnice nemá žádné řešení - přímka je nesečna. Pokud vyjde kvadratická rovnice a diskriminant je:
- D > 0 dvě řešení - přímka je sečna se dvěma průsečíky
- D = 0 jedno řešení - tečna s bodem dotyku
- D < 0 žádné řešení - přímka je nesečna
[editovat] Vzájemná poloha hyperboly a bodu
Jestliže převedeme všechny členy rovnice hyperboly na levou stranu(anulujeme rovnici) a dosadíme souřadnice bodu, pak bude platit:
- výsledná hodnota = 0 bod náleží hyperbole
- výsledná hodnota > 0 bod se nachází ve vnější rovině hyperboly
- výsledná hodnota < 0 bod se nachází ve vnitřní rovině hyperboly
[editovat] Polární souřadnicový systém
Pro hyperbolu se středem S umístěným v počátku platí rovnice:
Pro hyperbolu s ohniskem F umístěným v počátku platí rovnice: