Náhodný jev

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Náhodný jev označuje výsledek náhodného pokusu, o kterém lze po provedení pokusu rozhodnout, zda nastal nebo nenastal.

Náhodný jev představuje tedy událost, která za určitých podmínek buď nastane nebo nenastane. Je tedy možné vytvořit množinu $\mathbf{S}$ všech náhodných jevů, které mohou za daných podmínek nastat.

[editovat] Vlastnosti

Pokud při náhodném pokusu nastane nějaký náhodný jev $A$ pouze tehdy, pokud nastane jev $B$ , pak říkáme, že jev $A$ je části jevu $B$ a značíme $A \subset B$ . Lze také použít slovního vyjádření, že jev $A$ má za následek jev $B$ . Také říkáme, že jev $A$ implikuje jev $B$ .

Je-li při daném náhodném pokusu jev $A$ částí jevu $B$ a současně je jev $B$ částí jevu $A$ , tzn. za daných podmínek oba jevy $A$ a $B$ buď současně nastanou, nebo současně nenastanou, pak jevy $A, B$ označujeme jako ekvivalentní.

Pokud lze nějaký jev $C$ vyjádřit prostřednictvím dvou jiných jevů $A$ a $B$ tak, že jev $C$ nastane tehdy, když nastane jev $A$ nebo $B$ , pak jev $C$ označujeme jako sjednocení jevů $A$ a $B$ a zapisujeme $C = A \cup B$ .

Jestliže nějaký jev $C$ můžeme vyjádřit prostřednictvím dvou jiných jevů $A$ a $B$ tak, že jev $C$ nastane tehdy, když nastanou současně oba jevy $A$ i $B$ , pak jev $C$ označujeme jako průnik jevů $A$ a $B$ a zapisujeme $C = A \cap B$ .

Pokud lze nějaký jev $C$ vyjádřit prostřednictvím dvou jiných jevů $A$ a $B$ tak, že jev $C$ nastane tehdy, když nastane jev $A$ a současně nenastane jev $B$ , pak jev $C$ označujeme jako rozdíl jevů $A$ a $B$ a zapisujeme $C = A - B$ . Používá se také značení $C=A\backslash B$ .

Pokud existuje nějaký jev $Ω$ , který při určitém náhodném pokusu nastane vždy, pak o jevu Ω hovoříme jako o jevu jistém.

Opakem jistého jevu je jev nemožný (neuskutečnitelný), obvykle značený $\emptyset$ , který při daném náhodném pokusu nikdy nenastane.

Náhodný jev $\overline{A}$ nazveme jevem opačným (protikladným) k jevu $A$ , pokud jev $\overline{A}$ nastane vždy, když nenastane jev $A$ . Jev $\overline{A}$ bývá také nazýván doplňkem jevu $A$ .

Platí, že opačný jev opačného jevu je roven původnímu jevu, tzn. $\overline{\overline{A}} = A$ . Mezi jevem $A$ a k němu opačným jevem $\overline{A}$ platí vztah $A \cup \overline{A} = \Omega$ , kde $Ω$ je jistý jev, a současně $A \cap \overline{A} = \emptyset$ , kde $\emptyset$ je jev nemožný.

Náhodný jev, který nelze vyjádřit jako sjednocení libovolných dvou jiných jevů, označíme jako jev elementární. Elementární jevy tedy představují jednotlivé výsledky náhodného pokusu, které již dále nelze rozložit.

Jevy, které nejsou elementární, bývají označovány jako složené. Určitý složený jev nastane tehdy a jen tehdy, nastane-li některý z elementárních jevů v něm obsažený. Jistý jev obsahuje všechny elementární jevy. Nemožný jevu neobsahuje žádný elementární jev a tedy nenastane nikdy.

Pokud je současný výskyt dvou jevů $A$ a $B$ nemožný, tzn. $A \cap B = \emptyset$ , pak o jevech $A, B$ říkáme, že jsou neslučitelné (nekompatibilní).

Jestliže při každé realizaci daných podmínek jevy $A, B$ buď oba nastanou, nebo oba nenastanou, pak hovoříme o jevech rovnoprávných (rovnocenných) a značíme $A = B$ .

[editovat] Systém jevů

Jestliže máme jevy $B i$ pro $i = 1,2,..., n$ , které jsou po dvou nezávislé, tzn. $B_i \cap B_j = \emptyset$ pro $i\neq j$ , a jev $A$ , který lze vyjádřit jako $A = B_1\cup B_2\cup \cdots \cup B_n$ , pak říkáme, že jev $A$ se rozpadá na částečné jevy $B 1, B 2,..., B n$ . Pokud navíc platí, že $B_1 \cup B_2 \cup\cdots\cup B_n = \Omega$ , kde $Ω$ je jev jistý, pak jevy $B 1, B 2,..., B n$ tvoří úplný systém jevů. Při daném náhodném pokusu nastane alespoň jeden jev $B i$ z úplného systému jevů.

Systém jevů, které při daném náhodném pokusu nastávají nebo nenastávají, bývá označován jako jevové pole (jevový prostor). Jevový prostor obsahuje jak jev jistý, tak i jev nemožný. Platí také, že pokud náhodné jevy $A, B$ patří do daného jevového prostor, pak jevový prostor obsahuje také jevy $A\cup B$ , $A\cap B$ , $A - B$ .

Jevový prostor tedy představuje množinu všech elementárních jevů, které se při uskutečnění daného pokusu mohou vyskytnout.

[editovat] Příklad

Jako příklad náhodného jevu se nejčastěji uvádí hod hrací kostkou. Pokus spočívá v tom, že sledujeme čísla, resp. počty bodů, která na ní padnou. Idealizací pokusu je to, že nepřipouštíme, aby kostka padla na hranu a nebyl znám výsledek. Jevový prostor má šest elementárních jevů, kterými jsou čísla 1,2,3,4,5,6 na stranách kostky. Jev, že padne sudé číslo, je jevem složeným, který nastane tehdy a jen tehdy, nastane-li jeden ze tří elementárních jevů (padne 2, 4 nebo 6). Jev, že padne 0, je nemožný jev. Jev, že padne sudé nebo liché číslo, je jistý jev.