Σ-Algebra

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Du hast neue Nachrichten (Unterschied zur vorletzten Version).

Hinweis: Der korrekte Titel dieses Artikels lautet „σ-Algebra“. Diese Schreibweise ist aufgrund technischer Einschränkungen derzeit nicht möglich.

Eine σ-Algebra ist eine in der Stochastik häufig betrachtete mengentheoretische Struktur. Es bezeichnet ein Mengensystem auf einer festen Grundmenge, das vor allem stabil gegenüber der Vereinigung abzählbar vieler Teilmengen ist.

[Bearbeiten] Definition

Als σ-(Mengen-)Algebra (auch Sigmakörper oder Borelscher Mengenkörper) über einer Menge $Ω$ (Ergebnismenge) bezeichnet man in der Mathematischen Statistik ein Ereignissystem, eine Menge $Σ$ („Sigma“) von Teilmengen von $Ω$ („Omega“), welche die folgenden Bedingungen erfüllt:

$Σ$ enthält $Ω$ . (Alternative: $Σ$ enthält die leere Menge .)
Wenn $Σ$ eine bestimmte Teilmenge $S$ von $Ω$ enthält, dann auch deren Komplement $\Omega\setminus S$ .
Wenn $Σ$ zwei oder mehr Teilmengen von $Ω$ enthält, dann enthält $Σ$ auch deren Vereinigungsmenge; dies gilt auch für eine Folge von abzählbar unendlich vielen Teilmengen.

Aus den Bedingungen 1 und 2 folgt, dass $Σ$ immer $Ω$ und die leere Menge enthält. Ferner ist jede σ-Algebra ein Dynkin-System.

[Bearbeiten] Beispiele

Für jede beliebige Menge $Ω$ ist $\{\emptyset,\Omega\}$ die kleinste und die Potenzmenge $\mathcal P(\Omega)$ die größte mögliche σ-Algebra.
Für jeden topologischen Raum $Ω$ existiert die σ-Algebra der Borelschen Teilmengen von $Ω$ , die unter anderem alle offenen und abgeschlossenen Teilmengen von $Ω$ beinhaltet.
Die σ-Algebra der Borelschen Teilmengen der reellen Zahlen enthält unter anderem alle Intervalle.

[Bearbeiten] Bedeutung

σ-Algebren bilden den Ausgangspunkt für die Definition des Maßraums und des Wahrscheinlichkeitsraums. Das Banach-Tarski-Paradoxon demonstriert, dass auf überabzählbaren Mengen die Potenzmenge als Grundlage für die Volumenbestimmung zu groß sein kann, der Begriff der σ-Algebra also mathematisch notwendig ist. In der Theorie der stochastischen Prozesse, insbesondere in der stochastischen Finanzmathematik, wird die bis zu einem Zeitpunkt prinzipiell beobachtbare Information durch eine σ-Algebra beschrieben, was zum Begriff der Filtrierung, also einer zeitlich aufsteigenden Familie von σ-Algebren führt. Filtrierungen sind essentiell für die allgemeine Theorie der stochastischen Integration; Integranden (also finanzmathematische Handelsstrategien) dürfen zu einer Zeit $t$ nur von den Informationen bis (ausschließlich) $t$ abhängen; insbesondere dürfen sie nicht „in die Zukunft schauen“.

[Bearbeiten] σ-Operator

Für eine beliebige Teilmenge $M$ der Potenzmenge $\mathcal P(\Omega)$ ist der $σ$ -Operator definiert als

$\sigma(M):=\bigcap_{\Sigma\in\mathcal F(M)}\!\!\Sigma$ , wobei $\mathcal F(M)=\{\Sigma\subseteq\mathcal P(\Omega): M\subseteq\Sigma, \Sigma\ \sigma\mbox{-Algebra}\}$

Da die Schnittmenge einer Familie von $σ$ -Algebren (über derselben Grundmenge $Ω$ ) wieder eine $σ$ -Algebra ist, ist $σ$ (M) somit die kleinste $σ$ -Algebra, die $M$ umfasst.

Der $σ$ -Operator erfüllt die fundamentalen Eigenschaften eines Hüllenoperators, d.h.

Ist $M$ selbst schon eine $σ$ -Algebra, so ist $σ(M) = M$ (mit anderen Worten: der $σ$ -Operator ist idempotent)
gilt $M\subseteq N$ , so ist auch $\sigma(M)\subseteq\sigma(N)$ (Extensionalität)

$σ(M)$ wird als die von $M$ erzeugte $σ$ -Algebra bezeichnet, $M$ heißt Erzeuger dieser $σ$ -Algebra.

Sind $f_1, \ldots, f_n$ Funktionen von $Ω$ in Messräume $(\Omega_1,\Sigma_1), \ldots, (\Omega_n,\Sigma_n)$ , so ist

$\sigma(f_1, \ldots, f_n) = \sigma(\{f_i^{-1}(A) : \, 1 \le i \le n, \, A \in \Sigma_i\})$

die kleinste $σ$ -Algebra über $Ω$ , bezüglich derer die $f i$ messbar sind. Sie wird als die von $f_1, \ldots, f_n$ erzeugte $σ$ -Algebra bezeichnet. Entsprechendes gilt für beliebige Indexmengen $I$ statt $\{1, \ldots, n\}$ .