Abgeschlossene Hülle

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In der Topologie und der Analysis ist die abgeschlossene Hülle (auch Abschließung oder Abschluss) einer Teilmenge $U$ eines topologischen oder metrischen Raums die kleinste abgeschlossene Obermenge von $U$ .

[Bearbeiten] Definition

Ist $X$ ein topologischer Raum, also beispielsweise ein metrischer Raum mit der durch die Metrik induzierten Topologie, so ist die abgeschlossene Hülle oder der Abschluss einer Teilmenge $U\subseteq X$ der Durchschnitt $\bar U$ aller abgeschlossenen Teilmengen von $X$ , die $U$ beinhalten. Die Menge $\bar U$ ist selbst abgeschlossen, also ist sie die kleinste abgeschlossene Obermenge von $U$ .

Ein Punkt $b\in X$ heißt Berührpunkt von $U$ , wenn in jeder Umgebung von $b$ mindestens ein Element von $U$ enthalten ist. $\bar U$ besteht genau aus den Berührpunkten von $U$ .

[Bearbeiten] Der Abschluss als Menge von Grenzwerten

Erfüllt $X$ das erste Abzählbarkeitsaxiom (dies gilt beispielsweise dann, wenn $X$ ein metrischer Raum ist), so ist $\bar U$ die Menge aller Grenzwerte von konvergenten Folgen, deren Glieder in $U$ liegen.

Ist $X$ ein beliebiger topologischer Raum, so ist der Abschluss einer Teilmenge $U\subseteq X$ die Menge der Grenzwerte konvergenter Netze, deren Glieder in $U$ liegen.

[Bearbeiten] Abschluss von Kugeln in metrischen Räumen

Es sei $X$ ein metrischer Raum mit Metrik $d$ . Man beachte, dass im Allgemeinen die abgeschlossene Hülle $\overline{B(x,r)}$ einer offenen Kugel

$B(x,r)=\{y\in X\mid d(x,y)<r\}$

mit Radius $r$ und Mittelpunkt $x\in X$ nicht dasselbe ist wie die abgeschlossene Kugel

$\bar B(x,r)=\{y\in X\mid d(x,y)\leq r\}.$

Da die abgeschlossene Kugel eine abgeschlossene Menge ist, die die offene Kugel enthält, enthält sie auch ihren Abschluss:

$\overline{B(x,r)} \subseteq \overline{B}(x,r)$

Um ein Beispiel zu geben, in dem diese Inklusion echt ist, sei X eine Menge (mit mindestens zwei Elementen), auf der eine Metrik durch

$d(x,y)=\left\{\begin{matrix}1&\mathrm{f\ddot ur}\ x\not=y\\ 0&\mathrm{f\ddot ur}\ x=y\end{matrix}\right.$

definiert ist. Dann gilt für jedes $x\in X$ :

$\{x\} = B(x,1) = \overline{B(x,1)} \subsetneq \overline{B}(x,1) = X.$

Darüberhinaus gibt es auch metrische Räume, in dem für einen Punkt x und einen Radius r beide Inklusionen gleichzeitig echt sind:

$B(x,r) \subsetneq \overline{B(x,r)} \subsetneq \overline{B}(x,r)$

Ein Beispiel ist die Menge $X = \{(a,0)|a\in\mathbb{R},-1 \leq a \leq 1\} \cup \{(0,1)\}$ mit der vom euklidischen Raum $\mathbb{R}^2$ induzierten Metrik. Hier erfüllt $x = (0,0), r = 1$ die angegebene Inklusionsbedingung: