Cauchy-Riemannsche partielle Differentialgleichungen
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Die Cauchy-Riemannschen partiellen Differentialgleichungen (nach Augustin Louis Cauchy und Bernhard Riemann) sind ein Begriff aus der Funktionentheorie und sind ein Kriterium für komplexe Differenzierbarkeit.
Sei f eine komplexwertige Funktion einer komplexen Variablen, d.h. Definitionsbereich und Zielbereich von f sind Teilmengen der komplexen Zahlen. Dann lässt sich f in der Form f = u + iv darstellen, mit reellwertigen Funktionen u und v.
Für eine komplexe Zahl z gibt es eine Darstellung der Form z = (x,y), mit reellen Zahlen x und y, ebenso für die Funktionswerte f(z) gilt dann f(z) = u(z) + iv(z) bzw. f(x,y) = u(x,y) + iv(x,y).
Dann ist die komplexe Differenzierbarkeit von f gleichwertig damit, dass die partiellen Ableitungen 
und 
sowie 
und 
die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen
und 
erfüllen.
Dabei ist zu beachten, dass komplexe Differenzierbarkeit nur für innere Punkte einer Menge definiert ist, d.h. es gibt eine Kreisscheibe, die solche Punkte enthält und die ganz im Definitionsbereich von f liegt.
Komplexe Differenzierbarkeit von f = u + iv impliziert umgekehrt die Existenz der partiellen Ableitungen von u und v. Ferner folgt, dass u und v harmonische Funktionen sind.
Die Gleichungen wurden das erste Mal 1814 von Cauchy in seinem Aufsatz Sur les intégrales définies aufgeschrieben.
