Logische Äquivalenz
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Die Logische Äquivalenz beschreibt in der klassischen, zweiwertigen Logik die Werteverlaufsgleichheit von Aussagen, analog dem Gleichheitszeichen in der Algebra. In diesem Sinn ist Äquivalenz ein metasprachliches bzw. metatheoretisches Konzept, weil sie eine (Meta-) Aussage über die Beziehung zweier Ausdrücke der Objektsprache trifft.
So sind zwei Aussagen A, B der klassischen Aussagenlogik genau dann logisch äquivalent, wenn der Werteverlauf (Wahrheitstabelle) der beiden Aussagen gleich ist. Allgemeiner formuliert - d.h. nicht auf Aussagenlogik beschränkt - sind zwei Aussagen P und Q der klassischen, zweiwertigen Logik genau dann äquivalent, wenn beide Aussagen unter jeder möglichen Interpretation denselben Wahrheitswert annehmen.
Von der Äquivalenz als metatheoretisches Konzept muss das Bikonditional als Operator (Junktor, Konnektiv) der jeweiligen logischen Objektsprache unterschieden werden, das ebenfalls oft als Äquivalenz bezeichnet wird. Diese Homonymie ist insofern unglücklich, als sie dazu verleitet, ein objekt- und ein metasprachliches Konzept zu verwechseln oder zu vermengen, und weil sie eine/n dazu zwingt, sehr genau darauf zu achten, was im jeweiligen Zusammenhang mit dem Wort "Äquivalenz" gemeint ist. Das Bikonditional als Konnektiv wird meist als Doppelpfeil, ↔, oder als das Zeichen ≡ geschrieben; manchmal findet man auch den Doppelpfeil mit zwei Querlinien, ⇔. In der polnischen Notation wird für das Bikonditional der Großbuchstabe E geschrieben.
Für die klassische, zweiwertige, wahrheitsfunktionale Aussagenlogik ist der Wahrheitswertverlauf (die Wahrheitstabelle) des Bikonditionals wie folgt definiert (w = "wahr"; f = "falsch"):
| P | Q | P↔Q |
|---|---|---|
| f | f | w |
| f | w | f |
| w | f | f |
| w | w | w |
Häufig wird das Bikonditional nicht als eigenständiger Junktor eingeführt und über obige Wahrheitstabelle bestimmt, sondern per Definition eingeführt und auf das Konditional zurückgeführt:
X ↔ Y := (X → Y) & (Y → X)
Dabei sei ":=" das metasprachliche Zeichen für "sei definiert als" und seien X und Y metasprachliche Satzvariablen, also Platzhalter, die für beliebige Sätze der logischen Objektsprache stehen dürfen. Als konkretes Beispiel würde der Ausdruck (P & Q) ↔ S gemäß dieser Definition aufgelöst zu ((P & Q) → S) & (S → (P & Q)).
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[Bearbeiten] Beispiel
Sei
A(a,b,c) = (a ∧ b) ∨ c
und
B(a,b,c) = (a ∨ c) ∧ (b ∨ c)
dann gilt: A ist logisch äquivalent zu B.
[Bearbeiten] Schreib- und Sprechweisen
Für „A äquivalent B“ schreibt man in der Mathematik
Man sagt:
- A ist äquivalent zu B
- A gilt genau dann, wenn B
- A gilt dann und nur dann, wenn B
Man schreibt ebenfalls
- A gdw. B
Für die objektsprachliche Aussage „A genau dann wenn B“ (Bikonditional!) schreibt man in der Logik:
oder 
Für die metatheoretische Aussage „Der Satz A ist mit dem Satz B äquivalent“ gibt es - wie allgemein für metasprachliche Aussagen - unterschiedliche Schreibweisen; geläufig ist der Doppelpfeil mit zwei Querstrichen:
Man sagt:
- A ist logisch äquivalent zu B
- A ist werteverlaufsgleich mit B
- A ist logisch gleichwertig zu B
[Bearbeiten] Satz
- In der klassischen Logik gilt das Metatheorem, dass zwei Sätze X und Y genau dann äquivalent sind, wenn das aus ihnen gebildete Bikonditional X ↔ Y eine Tautologie ist.
- Ist das Bikonditional nicht per Definition eingeführt, sondern als eigenständiger Junktor gemäß obiger Wahrheitstabelle, dann gilt das Metatheorem, dass die zwei Sätze der Form X ↔ Y und (X → Y) & (Y → X) äquivalent sind.
[Bearbeiten] Siehe auch
- Implikation - hier wird auch der Unterschied zwischen objektsprachlicher und metasprachlicher Verwendung besonders gut herausgearbeitet
- Prädikatenlogik
- Aussagenlogik
