Maximales Ideal
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Maximales Ideal ist ein Begriff aus der Algebra.
[Bearbeiten] Definition
Sei R ein kommutativer Ring und 
ein Ideal. Wir nennen 
maximal oder maximales Ideal, wenn für alle Ideale 
gilt:
- Aus
folgt 
In anderen Worten: Ein Ideal ist maximal, wenn es nicht echte Teilmenge eines echten (vom ganzen Ring verschiedenen) Ideals von R ist.
[Bearbeiten] Bemerkungen
- Mit Hilfe des Lemmas von Zorn kann man zeigen, dass jedes Element aus R, das keine Einheit ist, in einem maximalen Ideal enthalten sein muss.
- Sei ein Ideal von R. Der Faktorring
ist genau dann ein Körper, wenn maximal ist. Insbesondere heißt dies: Das Bild eines Ringhomomorphismus ist genau dann ein Körper, wenn dessen Kern maximal ist. - Jedes maximale Ideal ist ein Primideal. Dies folgt aus der letzten Bemerkung und daraus, dass jeder Körper ein Integritätsbereich ist.
- Jedes Ideal, welches nicht R ist, ist in einem maximalen Ideal enthalten.
- Ein Ring der nur ein einziges maximales Ideal besitzt wird als lokaler Ring bezeichnet.
[Bearbeiten] Beispiele
- Im Ring
der ganzen Zahlen ist jedes Primideal außer dem Nullideal maximal. Dies ist jedoch im Allgemeinen nicht richtig; Integritätsbereiche mit dieser Eigenschaft heißen eindimensional. - Sei
der Ring der stetigen Funktionen auf den reellen Zahlen mit der punktweisen Multiplikation. Betrachte den Ringhomomorphismus
-
- Mit anderen Worten: diejenige Abbildung die jede Funktion an der Stelle 0 auswertet. Das Bild von ev0 ist
, also ein Körper. Somit ist der Kern, also die Menge aller Funktionen mit f(0) = 0, ein maximales Ideal.
