Modelltheorie
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Die Modelltheorie ist ein Teilgebiet der mathematischen Logik. Inhalt der Modelltheorie sind die Beziehungen zwischen den rein formalen Ausdrücken einer Logik (syntaktische Ebene) und deren Bedeutung (semantische Ebene). Diese Beziehung wird über sogenannte Interpretationen und eine als Erfüllungsrelation bezeichnete mathematische Relation hergestellt. Wichtige Bereiche der Modelltheorie betreffen die Zuordnung von Wahrheitswerten zu formalen Sätzen und die Beziehung formal-logischer Systeme zur natürlichen Sprache.
Die Bedeutung der Modelltheorie für die Mathematik liegt vor allem darin, dass aus der Existenz eines Modells für ein Axiomensystem die Widerspruchsfreiheit dieses Axiomensystems folgt. Dieses Argument wird vor allem angewendet, um die Widerspruchsfreiheit der Axiome der Mengenlehre mit gewissen Zusatzannahmen zu zeigen.
Typische Fragen in der Modelltheorie sind, zu welchen Kardinalitäten sich für ein gegebenes Axiomensystem Modelle schaffen lassen. So ist diese Frage für die Körperaxiome vollständig geklärt: Primzahlen und Primzahlpotenzen sind die alleinigen Kardinalitäten endlicher Modelle. Diese Menge natürlicher Zahlen heißt dann Spektrum der Körperaxiome.
Offen ist die Frage, ob das Komplement eines Spektrums stets wieder ein Spektrum ist: Gesucht ist also eine Axiomenmenge dergestalt, dass alle endlichen Modelle eine Kardinalität im Komplement des Spektrums darstellen. Interessanterweise hängt diese Frage mit der NP=Co-NP-Frage aus der Komplexitätstheorie zusammen.
[Bearbeiten] Endliche Modelltheorie
Die Endliche Modelltheorie ist ein Teilbereich der Modelltheorie, der auf die Eigenschaften logischer Sprachen (wie etwa der Prädikatenlogik), sowie auf endliche Strukturen wie etwa endliche Gruppen, Graphen und die meisten Maschinenmodelle fokussiert ist. Ein Schwerpunkt liegt dabei insbesondere in den Beziehungen zwischen logischen Sprachen und der Berechenbarkeitstheorie. Weiterhin bestehen enge Bezüge zur diskreten Mathematik, der Komplexitätstheorie und der Theorie der Datenbanken.
[Bearbeiten] Siehe auch
[Bearbeiten] Weblinks
- Eintrag (englisch) in der Stanford Encyclopedia of Philosophy (inkl. Literaturangaben)
- First Order (Classical) Model Theory. Eintrag (englisch) in der Stanford Encyclopedia of Philosophy (inkl. Literaturangaben)
- Jouko Väänänen. A Short Course on Finite Model Theory. Department of Mathematics, University of Helsinki. Auf der Basis von Vorlesungen in den Jahren 1993-1994.
- Finite Model Theory Homepage der RWTH Aachen, inklusive einer Liste offener Probleme.
- Finite Model Theory References, eine Datenbank mit Bezügen zur Endlichen Modelltheorie.
