Normalteiler
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In der Gruppentheorie bezeichnet ein Normalteiler (oder normale Untergruppe) eine Untergruppe N einer Gruppe G, wenn für alle 
und 
gilt: 
. Notation: 
. Es sind also genau die Untergruppen, die unter den inneren Automorphismen invariant sind.
Jeder Normalteiler ist Kern eines Homomorphismus. Sein Bild ist das neutrale Element.
[Bearbeiten] Normalteilerverband
Die Normalteiler einer Gruppe bilden ein Mengensystem, das sogar ein Hüllensystem ist. Dieses Hüllensystem ist ein vollständiger Verband, der Normalteilerverband.
[Bearbeiten] Bemerkungen
- N ist genau dann ein Normalteiler, wenn für alle
gilt gN = Ng. - Die Normalteiler einer Gruppe sind genau die Kerne der Homomorphismen, die von dieser Gruppe ausgehen.
- Hat eine Gruppe G nur die trivialen Normalteiler {e} und G, so nennt man sie einfach.
- Die Nebenklassen von Normalteilern N bilden mit dem Komplexprodukt eine Gruppe, die Faktorgruppe G / N von G nach N
- Normalteiler sind Vereinigungen von Konjugationsklassen.
- Der Normalisator von Normalteilern einer Gruppe G ist ganz G.
- In abelschen Gruppen ist jede Untergruppe Normalteiler.
- Die Normalteiler-Relation ist nicht transitiv d.h. aus
und 
folgt im Allgemeinen nicht 
. - Alle charakteristischen Untergruppen von G sind Normalteiler in G (weil Konjugation ein Automorphismus ist).
Siehe auch: Normalreihe
