Satz von Clairaut (Differentialgeometrie)

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Der Satz von Clairaut (benannt nach Alexis-Claude Clairaut) ist eine Aussage der Klassischen Differentialgeometrie.

[Bearbeiten] Aussage

Sei $S$ eine Rotationsfläche und $s\rightarrow \vec c(s)$ eine reguläre Kurve auf $S$ . Es bezeichne $r (s)$ den Radius des Breitenkreises durch $\vec c(s)$ sowie $α(s)$ den Schnittwinkel der Kurve mit diesem Breitenkreis. Dann gelten:

Ist $c$ eine geodätische Linie, so ist die Funktion $r \cos\alpha\,$ längs $c$ konstant.
Ist $r \cos\alpha\,$ längs $c$ konstant und $c$ kein Breitenkreis, so ist $c$ eine geodätische Linie.

[Bearbeiten] Beweis

Sei $(u, v) \rightarrow (r(v)\cos u, r(v)\sin u, h(v))$ eine Parametrisierung der Fläche $S$ , wobei wir o. B. d. A. $v$ als Bogenlänge der erzeugenden Kurve $(r (v), h (v))$ annehmen können. Damit berechnen wir die Koeffizienten der Ersten Grundform zu

E (u, v) = (r (v)) 2

F (u, v) = 0

G (u, v) = 1

Sei $s \rightarrow \vec c(s)$ o. B. d. A. nach der Bogenlänge $s$ parametrisiert. Um den Satz von Liouville anwenden zu können, berechnen wir explizit die geodätischen Krümmungen der $u$ -Linien (Breitenkreise) und $v$ -Linien (Meridiane):

$\kappa_{g,u} = -\frac{1}{r} \frac{dr}{dv}, \qquad \kappa_{g,v} = 0$

Daraus ergibt sich die geodätische Krümmung der Kurve $\vec c$ zu

$\kappa_g = -\frac{1}{r} \frac{dr}{dv} \cos\alpha + \frac{d\alpha}{ds}$ (1).

Differenzieren der Funktion $C(s) = r(\vec c(s))\cos\alpha(s)$ liefert:

$\frac{dC}{ds} = \frac{dr}{dv} \frac{dv}{ds} \cos\alpha - r\sin\alpha\cdot\frac{d\alpha}{ds}$ .

Mit $\frac{dv}{ds} = \frac{\sin\alpha}{\sqrt{G}}$ folgt aus (1)

$\frac{dC}{ds} = -r\sin\alpha\cdot\kappa_g$

und damit die Behauptung.

[Bearbeiten] Anwendung in der Landesvermessung

In der Landesvermessung stellt sich das Problem, zu gegebenem Anfangspunkt und -richtung eine geodätische Linie zu berechnen, die sogenannte erste geodätische Hauptaufgabe.

Seien $a$ und $b$ die Halbachsen des Referenzellipsoids und $e 2 = (a 2 - b 2) / a 2$ das Quadrat der (ersten) numerischen Exzentrizität. Der Radius des Breitenkreises mit der ellipsoidischen Breite $φ$ beträgt