Sphäre (Mathematik)
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Unter einer Sphäre versteht man in der Mathematik die Verallgemeinerung der Kugeloberfläche auf beliebig viele Dimensionen. Definitiongemäß besteht die Sphäre nur aus der verallgemeinerten Oberfläche. Verallgemeinerte Vollkugeln werden in der Mathematik Ball oder Kugel genannt.
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[Bearbeiten] Sprechweise und Notation
Die n-dimensionale Sphäre (oder kurz n-Sphäre) ist die Oberfläche einer (n + 1)-dimensionalen Kugel. Sie wird mit Sn bezeichnet. Die Dimension einer n-Sphäre ist intrinsisch zu verstehen: Eine 2-Sphäre kann man sich zwar im 3-dimensionalen Raum vorstellen, sie ist jedoch (lokal) durch 2-dimensionale Karten beschreibbar.
Die n-dimensionale Kugel wird n-Kugel genannt und mit Dn (nach dem englischen disk, Scheibe) bezeichnet. Man unterscheidet abgeschlossene Kugeln (mit Oberfläche oder Rand) und offene Kugeln (ohne die Oberfläche oder den Rand). Diese Sprechweise entspricht der Sprechweise bei Mengen oder Intervallen.
Der Radius der Sphären und Kugeln ist vereinbarungsgemäß 1; genaugenommen müsste man hier allerdings von Einheitssphären und Einheitskugeln sprechen.
[Bearbeiten] Volumen und Oberfläche
Das Volumen der n-dimensionalen Kugel vom Radius R beträgt
,
wobei Γ die Gammafunktion ist. Für gerade Dimension n gilt Γ(n / 2 + 1) = (n / 2)!.
Die Oberfläche dieser Kugel, also die Fläche der n-Sphäre, beträgt
.
Der Abstand jedes Punktes auf der Oberfläche zum Zentrum ist immer gleich groß, nämlich der Radius R.
[Bearbeiten] Topologische Sphären
In der Topologie versteht man unter einer n-Sphäre eine topologische Mannigfaltigkeit, die homöomorph zur oben beschriebenen Sn ist. Topologisch betrachtet ist demnach zum Beispiel auch die Oberfläche eines Würfels eine 2-Sphäre.
Man erhält eine topologische n-Sphäre, indem man die Ränder zweier n-Kugeln orientierungsumkehrend miteinander verklebt.
[Bearbeiten] Beispiele
- Die 1-Kugel D1 ist das Intervall [-1,1]. Dementsprechend besteht die 0-Sphäre S0 nur aus den beiden Punkten +1 und -1. Sie ist als einzige Sphäre nicht zusammenhängend.
- Die 2-Kugel D2 ist die Kreisscheibe mit Radius 1 in der Ebene. Die 1-Sphäre S1 ist der Einheitskreis. Sie ist zusammenhängend, aber nicht einfach zusammenhängend. Sie lässt sich durch komplexe Zahlen vom Betrag 1 beschreiben.
- Die 3-Kugel D3 ist die Vollkugel. Die 2-Sphäre S2 ist die Einheitskugel. Sie ist einfach zusammenhängend – wie alle höherdimensionalen Sphären. Sie wird durch Kugelkoordinaten beschrieben.
[Bearbeiten] Die 3-Sphäre
Die 3-Sphäre S3 ist nicht mehr anschaulich vorstellbar. Sie ist eine 3-dimensionale Untermannigfaltigkeit im 4-dimensionalen Raum 
. Eine mathematisch besonders elegante Beschreibung der S3 ist durch die Quaternionen vom Betrag 1 gegeben.
[Bearbeiten] Aussagen und Vermutungen über Sphären
[Bearbeiten] Poincaré-Vermutung
Die Poincaré-Vermutung lautet:
- Jede geschlossene einfach zusammenhängende 3-dimensionale Mannigfaltigkeit ist homöomorph zur 3-Sphäre
Darüberhinaus gibt es noch eine Verallgemeinerung der Vermutung, auf n-dimensionale Mannigfaltigkeiten in der folgenden Form:
- Jede geschlossene n-Mannigfaltigkeit mit dem Homotopietyp einer n-Sphäre ist zur n-Sphäre homöomorph.
Für den Fall n=3 stimmt diese verallgemeinerte Vermutung mit der ursprünglichen Poincaré-Vermutung überein. Für den Fall 
wurde sie 1960 von Stephen Smale bewiesen.
[Bearbeiten] Differenzierbare Strukturen
Der US-amerikanische Mathematiker John Milnor fand als erster heraus, dass die 7-Sphäre S7 15 verschiedene differenzierbare Strukturen hat.
[Bearbeiten] Lie-Gruppen
Die einzigen Sphären, die gleichzeitig eine Gruppenstruktur haben und damit eine Lie-Gruppe bilden, sind die 0-, 1- und die 3-Sphäre. Dabei entspricht der 0-Sphäre die Gruppe 
, der 1-Sphäre S1 die Gruppe U(1) und der 3-Sphäre S3 die Gruppe SU(2).
Die 7-Sphäre ist zwar keine Lie-Gruppe, aber sie ist eine echte Moufang-Loop, da sie durch die Oktonionen mit dem Betrag 1 beschrieben werden kann.
[Bearbeiten] Parallelisierbarkeit
Die 1-, 3- und 7-Sphäre sind die einzigen Sphären, die parallelisierbar sind. Diese Ausnahmestellung hängt mit der Existenz der Divisionsalgebren zusammen.
