Zariski-Topologie

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Die Zariski-Topologie ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der algebraischen Geometrie. Sie ist die natürliche Topologie auf den Studienobjekten der algebraischen Geometrie, den algebraischen Varietäten oder allgemeiner den Schemata.

Inhaltsverzeichnis

1 Die Zariski-Topologie in der klassischen algebraischen Geometrie
2 Die Zariski-Topologie auf dem Spektrum eines Ringes
3 Eigenschaften
4 Verallgemeinerungen

[Bearbeiten] Die Zariski-Topologie in der klassischen algebraischen Geometrie

In der klassischen algebraischen Geometrie ist die Zariski-Topologie (nach Oscar Zariski) diejenige Topologie auf dem affinen Raum $k n$ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $k$ , die von den offenen Mengen der Form

$\mathrm D(f)=\{x\in k^n\mid f(x)\not=0\}$ für $f\in k[X_1,\ldots,X_n]$

erzeugt wird. Affine Varietäten tragen die induzierte Topologie, und die Zariski-Topologie auf allgemeineren Varietäten wird über affine Karten definiert.

Beispielsweise ist die Zariski-Topologie auf der affinen Geraden die Topologie der koendlichen Mengen.

Auf einer affinen Varietät ist die Zariski-Topologie die gröbste Topologie, für die die regulären Funktionen als Abbildungen in die affine Gerade $k$ (mit ihrer Zariski-Topologie) stetig sind.

[Bearbeiten] Die Zariski-Topologie auf dem Spektrum eines Ringes

Ist $A$ ein kommutativer Ring mit Einselement, so ist das Spektrum $\mathrm{Spec}\,A$ die Menge der Primideale von $A$ mit der Topologie, bei der die abgeschlossenen Mengen die Mengen

$\{\mathfrak p\in\mathrm{Spec}\,A\mid\mathfrak p\supseteq I\}$

für Ideale $I\subseteq A$ sind.

Ist $A=k[X_1,\ldots,X_n]$ für einen algebraisch abgeschlossenen Körper $k$ so entsprechen die maximalen Ideale von $A$ nach dem Hilbertschen Nullstellensatz eineindeutig den Elementen von $k n$ , und die Topologien auf diesen beiden Mengen stimmen überein.

[Bearbeiten] Eigenschaften

Die Zariski-Topologie unterscheidet sich stark von den gewohnten, auf den reellen Zahlen basierenden topologischen Räumen.

Die Topologie ist i.a. nicht hausdorffsch; in der Tat ist der Raum $k n$ irreduzibel, d.h. je zwei nichtleere offene Teilmengen schneiden sich. Irreduzibilität ist also ein stärkerer Begriff als Zusammenhang.
Quasi-kompakte Teilmengen müssen nicht notwendigerweise abgeschlossen sein.

[Bearbeiten] Verallgemeinerungen

Die Zariski-Topologie eines Schemas ist Teil seiner Struktur; allerdings verwendet man den Ausdruck "Zariski-Topologie" im Kontext von Schemata meist nur zur Unterscheidung von anderen Grothendieck-Topologien.

Von „http://de.wikipedia.org../../../z/a/r/Zariski-Topologie_8a10.html“

Kategorie: Algebraische Geometrie