Vikipedio:Projekto matematiko/Kampa vastigaĵo

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al Kampa vastigaĵo (eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En abstrakta algebro, K estas kampa vastigaĵo de F se , kie K kaj F estas ambaŭ kampoj. Ĉi tiu estas ofte signifita kiel K/F. La ĝeneraligo al (ringoj, ringas, sonoras) estas (nomita, vokis) ringaj vastigaĵoj.

Ekzemple, C (la kampo de kompleksaj nombroj) estas vastigaĵo de R (la kampo de reelaj nombroj), kaj R estas sin vastigaĵo de Q (la kampo de racionalaj nombroj).

Enhavo 1 Formala difino 2 Kampaj vastigaĵoj kiel vektoraj spacoj 3 Algebra kaj transcendaj eroj 4 Generante kampoj

[redaktu] Formala difino

Supozi K kaj F estas kampoj. K estas kampa vastigaĵo de F se K enhavas subkorpo G tio estas izomorfia al F.

En la simpla (kesto, okazo) (tiu, ke, kiu) , ni povas elekti la subkorpo G al esti F sin kaj G kaj F estas bagatele izomorfia (la izomorfio (mapoj, mapas) ĉiu ero al sin). Tamen, en ĉi tiu pli ĝenerala difino, ni ne postuli la eroj de F al esti ene K, nur (tiu, ke, kiu) la strukturo de F estas iel (opinii, pensi) de K (prezenti, aktuala) en K (memori (tiu, ke, kiu) (izomorfioj, izomorfias) konfiti strukturo).

Ekde F kaj G havi la sama strukturo, ni kutime imagi F estante ene K, eĉ se ĉi tiu estas ne reale vera. De ĉi tie, en plej literaturo (kaj en la enkonduko kaj sinsekvaj sekcioj de ĉi tiu artikolo), la ekzisto de G estas implica ĉiam F estas ne subkorpo de K.

[redaktu] Kampaj vastigaĵoj kiel vektoraj spacoj

Kampa vastigaĵo K/F povas ankaŭ esti konsiderata kiel vektora spaco super F. La eroj de K estas "(vektoroj, vektoras)" kaj la eroj de F estas la "(skalaroj, skalaras)". Ni adicii la (vektoroj, vektoras) (justa, ĵus) ŝati ni adicii eroj en K, kaj skalara multipliko estas multipliko de eroj de F per eroj de K.

La dimensio de ĉi tiu vektora spaco estas (nomita, vokis) la grado de la vastigaĵo, kaj estas signifita [K : F]. La vastigaĵo estas (nomita, vokis) finia vastigaĵo aŭ malfinia vastigaĵo dependanta sur ĉu la grado estas finia aŭ malfinio. (Ekzemploj, Ekzemplas):

• [C : R] = 2, (do, tiel) ĉi tiu vastigaĵo estas finia.
• [R : Q] = c (la kardinalo de la kontinuaĵo),

(do, tiel) ĉi tiu vastigaĵo estas malfinio.

Se L estas vastigaĵo de K kiu estas vastigaĵo de F, tiam ĝi povas esti montrita (tiu, ke, kiu)

[redaktu] Algebra kaj transcendaj eroj

Se K estas vastigaĵo de F, tiam ero de K kiu estas radiko de nenula polinomo super F estas dirita al esti algebra super F. Se ĝi estas ne algebra tiam ĝi estas dirita al esti transcenda. Kiel ekzemplo:

• En C/R, mi estas algebra ĉar ĝi estas radiko de _x²_+1.
• En R/Q, estas algebra, ĉar ĝi estas radiko de x⁴ − 10x² + 2
• En R/Q, e estas transcenda ĉar estas ne polinomo kun (racionala, racionalo) koeficientoj (tiu, ke, kiu) havas e kiel radiko (vidi transcenda nombro)
• En C/R, e estas algebra ĉar ĝi estas la radiko de x-e

La speciala okazo de C/Q estas aparte grava, kaj la (nomoj, nomas) algebra nombro kaj transcenda nombro estas uzitaj al priskribi la kompleksaj nombroj.

Se ĉiu ero de K estas algebra super F, tiam la vastigaĵo K/F estas dirita al esti algebra vastigaĵo; alie ĝi estas dirita al esti transcenda. Se ĉiu ero de K escepti tiuj en F estas transcenda super F, tiam la vastigaĵo estas dirita al esti pura transcenda.

Ĝi povas esti montrita (tiu, ke, kiu) vastigaĵo estas algebra se kaj nur se ĝi estas la unio de ĝia finia _subextensions_. En aparta, ĉiu finia vastigaĵo estas algebra. Ekzemple,

• C/R, estante finia, estas algebra.
• R/Q estas transcenda, kvankam ne pura transcenda.

[redaktu] Generante kampoj

Se K/F estas kampa vastigaĵo kaj V estas subaro de K, tiam la kampo F(V) estas difinita al esti la (plej minuskla, plej malgranda) subkorpo de K kiu enhavas F kaj V. Ĝi konsistas de ĉiuj tiuj eroj de K (tiu, ke, kiu) povas esti _gotten_ uzanta finia nombro de kampo (operacioj, operacias) +, -, *, / aplikita al eroj de F kaj V. Se K = F(V), tiam ni diri (tiu, ke, kiu) K estas generita per V.

Kampa vastigaĵo generita per sola ero estas (nomita, vokis) simpla vastigaĵo. Simpla vastigaĵo estas finia se generita per algebra ero, kaj pura transcenda se generita per transcenda ero. Ekzemple,

• C estas simpla vastigaĵo de R, kiel ĝi estas generita per mi (la kvadrata radiko de minus unu).
• R/Q estas ne simpla, kiel ĝi estas neniu finia nek pura transcenda.

Kampa vastigaĵo kiu havas Galezagrupo estas (nomita, vokis) Galeza superkorpo. Se la Galezagrupo estas Abela, tiam la vastigaĵo estas (nomita, vokis) Abela vastigaĵo. Ekzemple,

• C/R estas Abela vastigaĵo, ĝia Galezagrupo estante de (mendi, ordo) 2.
• R/Q estas ne Galeza superkorpo, ekde, ekzemple, la polinomo x³ − 2, dum havanta radiko en R, ne fendi super R.