Vikipedio:Projekto matematiko/Normo (matematiko)

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Normo (matematiko)
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En lineara algebro, funkcionala analitiko kaj rilatantaj areoj de matematiko, normo estas funkcio kiu asignas pozitiva longo aŭ amplekso al ĉiuj (vektoroj, vektoras) en vektora spaco, escepte la nula vektoro. duonnormo aliflanke estas permesita al asigni nula longo al iu ne-nulo (vektoroj, vektoras).

Simpla ekzemplo estas la 2-dimensia Eŭklida spaco R² (ekipis, armita) kun la Eŭklida normo. Eroj en ĉi tiu vektora spaco (e.g., (3,7) ) estas kutime desegnita kiel (sagoj, sagas) en 2-dimensia kartezia koordinato startanta je la fonto (0,0). La Eŭklida normo asignas al ĉiu vektoro la longo de ĝia sago.

Vektora spaco kun normo estas (nomita, vokis) normigita vektora spaco. Simile, vektora spaco kun duonnormo estas (nomita, vokis) duonnormita vektora spaco.

Enhavo

1 Difino
2 (Tononomoj, Notoj, Notas)
3 (Ekzemploj, Ekzemplas)
4 Propraĵoj
5 Absolute konveksa kaj (absorbanta, kaperanta, sorbanta) aroj
6 Vidu ankaŭ jenon:

[redaktu] Difino

Donita vektora spaco V super subkorpo F de la kompleksaj nombroj kiel la kompleksa nombra sin aŭ la (reala, reela) aŭ racionalaj nombroj, duonnormo sur V estas funkcio p:V→R; x→ p(x) kun jenaj propraĵoj:

Por ĉiuj a en F kaj ĉiuj u kaj v en V,

p(v) ≥ 0 (_positivity_)
p(a v) = |a| p(v), (pozitiva _homogeneity_ aŭ pozitiva _scalability_)
p(u + v) ≤ p(u) + p(v) (triangula neegalaĵo aŭ _subadditivity_).

normo estas duonnormo kun la aldona propraĵo

p(v) = 0 se kaj nur se v estas la nula vektoro (pozitiva _definiteness_)

Topologia vektora spaco estas (nomita, vokis) _normable_ (duone-_normable_) se la topologio de la spaco povas esti konkludita per normo (duonnormo).

[redaktu] (Tononomoj, Notoj, Notas)

(Duonnormoj, Duonnormas) estas ofte signifita per p(v) (funkcia skribmaniero) (dum, ĉar) (normoj, normas) estas tradicie signifita ||v|| (kiel varianto de la absoluta-valora skribmaniero).

Utila konsekvenco de la normo (aksiomoj, aksiomas) estas la neegalaĵo

||u ± v|| ≥ | ||u|| − ||v|| |

por ĉiuj u kaj v ∈ K.

[redaktu] (Ekzemploj, Ekzemplas)

Ĉiuj (normoj, normas) estas (duonnormoj, duonnormas)
La bagatela (duonnormoj, duonnormas), tiuj kie p(x) = 0 por ĉiuj x en V.
La absoluta valoro estas normo sur la reelaj nombroj.
Ĉiu lineara (formo, formi) f sur vektora spaco difinas duonnormo per x→|f(x)|.

[redaktu] Eŭklida normo

Sur Rⁿ, la intuicia nocio de longo de la vektoro x = [x₁, x₂, ..., x_n] estas (enkaptita, kaptita, kaptis) per la formulo

$\|\mathbf{x}\| := \sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2}.$

Ĉi tiu donas la ordinara distanco de la fonto trafe x, konsekvenco de la Pitagora teoremo. La Eŭklida normo estas per malproksime la plej kutime uzita normo sur Rⁿ, sed estas alia (normoj, normas) sur ĉi tiu vektora spaco kiel estos esti montrita pli sube.

Sur Cⁿ la plej komuna normo estas

$\|\mathbf{z}\| := \sqrt{|z_1|^2 + \cdots + |z_n|^2}.$ , ekvivalento kun la Eŭklida normo sur R²ⁿ.

En ĉiu (kesto, okazo) ni povas ankaŭ (ekspreso, esprimi) la normo kiel la kvadrata radiko de la ena (produkto, produto) de la vektoro kaj sin. La eŭklida normo estas ankaŭ (nomita, vokis) la l², vidi _Lp_ spaco.

[redaktu] Taksia normo aŭ Manhatana normo

Ĉefa artikola Taksia geometrio

$\|x\|_1 := \sum_{i=1}^{n} |x_i|.$

La nomo (rilatas, rakontas) al la distanca taksio havas al enbati rektangula strata krado al preni de la fonto trafe x.

===p-normo=== Estu p≥1 esti reela nombro.

$\|x\|_p := \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right)^\frac{1}{p}$

(Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) por p=1 ni preni la taksia normo kaj por p=2 ni preni la Eŭklida normo. Vidu ankaŭ jenon: L^p spaco.

[redaktu] Malfinia normo aŭ maksimuma normo

Ĉefa artikola maksimuma normo

$\|x\|_\infty := \max \left(|x_1|, \ldots ,|x_n| \right).$

[redaktu] Nula normo

En la maŝina lerno kaj optimumiga literaturo, unu ofte trovas referenco al la nula normo. La nula normo de x estas difinita kiel $\lim_{p\rightarrow 0} \|x\|_p^p,$ kie $\|x\|_p$ estas la p-normo difinis pli supre. Se ni difini $0^0 \equiv 0$ tiam ni povas skribi la nula normo kiel $\sum_{i=1}^n x_i^0$ . Ĝi sekvas (tiu, ke, kiu) la nula normo de x estas simple la nombro de ne-nulaj eroj de x. Malgraŭ ĝia nomo, la nula normo estas ne vera normo; en aparta, ĝi estas ne pozitiva homogena.

[redaktu] Alia (normoj, normas)

Alia (normoj, normas) sur Rⁿ povas esti konstruita per (kombinanta, komponanta) la pli supre; ekzemple

$\|x\| := 2|x_1| + \sqrt{3|x_2|^2 + \max(|x_3|,2|x_4|)^2}$

estas normo sur R⁴.

Por (ĉiu, iu) normo kaj (ĉiu, iu) (dissurĵeta, bijekcia) lineara transformo A ni povas difini nova normo de x, egala al $\|Ax\|$ . En 2D, kun A turnado per 45° kaj taŭgi (krustanta, skalanta), ĉi tiu ŝanĝas la taksia normo enen la maksimuma normo. En 2D, ĉiu A aplikis al la taksia normo, supren al inversigo kaj interŝanĝanta de (hakiloj, hakas), donas malsama unuobla pilko: paralelogramo de aparta formo, amplekso kaj orientiĝo. En 3D ĉi tiu estas simila sed malsama por la 1-normo ((okedroj, okedras)) kaj la maksimuma normo ((prismoj, prismas) kun paralelograma bazo).

Ĉiu pli supre (formuloj, formulas) ankaŭ cedi (normoj, normas) sur Cⁿ sen ŝanĝo.

[redaktu] Malfinio _dinmensional_ (kesto, okazo)

La ĝeneraligo de la pli supre (normoj, normas) al malfinia nombro de (komponantoj, komponantas) (plumboj, plumbas, kondukas) al la _Lp_ (spacoj, kosmoj, spacetoj), kun (normoj, normas)

$\|x\|_p = \left(\sum_{i\in\mathbb N}|x_i|^p\right)^{\frac1p}$ _resp_. $\|f\|_{p,X} = \left(\int_X|f(x)|^p\,\mathrm dx\right)^{\frac1p}$

(por komplekso-valora (vicoj, vicas) x _resp_. funkcioj f difinis sur $X\subset\mathbb R$ ), kiu povas esti plui ĝeneraligita (vidi Mezuro de Haar).

(Ĉiu, Iu) ena (produkto, produto) konkludas en natura vojo la normo $\|x\| := \sqrt{\langle x,x\rangle}.$

Alia (ekzemploj, ekzemplas) de malfiniaj dimensiaj normigitaj vektoraj spacoj povas troviĝi en la Banaĥa spaca artikolo.

[redaktu] Propraĵoj

(Ilustraĵoj, Ilustraĵas) de unuoblaj cirkloj en malsama (normoj, normas).

La koncepto de unuobla cirklo (la aro de ĉiuj (vektoroj, vektoras) de normo 1) estas malsama en malsama (normoj, normas): por la 1-normo la unuobla cirklo en R² estas romboido, por la 2-normo (Eŭklida normo) ĝi estas la konata unuobla cirklo, dum por la malfinia norma ĝi estas kvadrato. Vidi la akompananta ilustraĵo.

En (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de la vektora spaco, la duonnormo difinas topologio sur la spaco, kaj ĉi tiu estas Hausdorff-a topologio precize kiam la duonnormo povas (distingi, diferencigi) inter klara (vektoroj, vektoras), kiu estas denove ekvivalento al la duonnormo estante normo.

Du (normoj, normas) ||·||₁ kaj ||·||₂ sur vektora spaco V estas (nomita, vokis) ekvivalento se tie ekzisti pozitivaj reelaj nombroj C kaj D tia (tiu, ke, kiu)

$C\|x\|_1\leq\|x\|_2\leq D\|x\|_1$

por ĉiuj x en V. Sur finia dimensia vektora spaco ĉiuj (normoj, normas) estas ekvivalento.

Ekvivalento (normoj, normas) difini la sama (komprenaĵoj, nocioj, nocias) de kontunueco kaj konverĝo kaj ne (bezoni, bezono, necesa) al esti (distingita, invarianta, memkonjugita, normala, diferencigis) por plej (celoj, celas). Al esti pli preciza la uniforma strukturo difinis per ekvivalento (normoj, normas) sur la vektora spaco estas unuforme izomorfia.

Ĉiu (duone)-normo estas sublineara funkcio, kiu (implicas, enhavas) (tiu, ke, kiu) ĉiu normo estas konveksa funkcio. Kiel rezulto, trovanta malloka optimumo de normo-bazita (empiria, objektiva) funkcio estas ofte akordiĝema.

Donita finia familio de (duonnormoj, duonnormas) p_mi sur vektora spaco la (sumo, sumi)

$p(x):=\sum_{i=0}^n p_i(x)$

estas denove duonnormo.

[redaktu] Absolute konveksa kaj (absorbanta, kaperanta, sorbanta) aroj

(Duonnormoj, Duonnormas) estas proksime rilatanta al absolute konveksa kaj (absorbanta, kaperanta, sorbanta) aroj. Estu p esti duonnormo sur vektora spaco V, tiam por (ĉiu, iu) skalaro α la aroj {x : p(x) < α} kaj {x : p(x) ≤ α} estas (absorbanta, kaperanta, sorbanta) kaj absolute konveksa. En normigita vektora spaco la aro {x : p(x) ≤ 1} estas (nomita, vokis) unuobla pilko.

Male al ĉiu (absorbanta, kaperanta, sorbanta) kaj absolute konveksa subaro A de V korespondas duonnormo p (nomita, vokis) la kalibro de A, difinis kiel

p(x) := _inf_{α : α > 0, x ∈ α A}

kun la propraĵo (tiu, ke, kiu)

{x : p(x) < 1} ⊆ A ⊆ {x : p(x) ≤ 1}.

Loke konveksa topologia vektora spaco havas loka bazo konsistanta de absolute konveksa kaj (absorbanta, kaperanta, sorbanta) aroj. Komuna maniero al konstrui tia bazo estas al uzi _familiy_ de (duonnormoj, duonnormas). Tipe ĉi tiu familio estas malfinio, kaj estas sufiĉa (duonnormoj, duonnormas) al (distingi, diferencigi) inter eroj de la vektora spaco, kreanta (Hausdorff-a spaco, Spaco de Hausdorff).

[redaktu] Vidu ankaŭ jenon:

ena (produkto, produto), vektora multipliko kiu konkludas normo
rilato de (normoj, normas) kaj (metrikoj, metrikas) - traduka invarianto kaj homogena metriko povas kutimi difini normo
normigita vektora spaco

Elŝutita el "http://eo.wikipedia.org../../../p/r/o/Vikipedio%7EProjekto_matematiko_Normo_%28matematiko%29_aabb.html"

Kategorioj: Artikoloj por polurado kaj movo | Lineara algebro | Normo

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.