Vikipedio:Projekto matematiko/Spaco de Cantor

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al Spaco de Cantor (eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En matematiko, la (termo, membro, flanko, termino) Spaco de Cantor estas iam kutima signifi la topologia abstraktado de la klasika Aro de Kantor: Topologia spaco estas a Spaco de Cantor se ĝi estas homeomorfia al la Aro de Kantor.

La Aro de Kantor sin estas kompreneble Spaco de Cantor. Sed la kanona ekzemplo de Spaco de Cantor estas la kalkuleble malfinio topologia (produkto, produto) de la diskreta 2-punkta spaco {0, 1}. Ĉi tiu estas kutime skribita kiel 2^N aŭ 2^ω (kie 2 signifas la 2-era aro {0,1} kun la diskreta topologio). Punkto en 2^N estas an malfinia duuma vico, tio estas vico kiu alprenas nur la (valoroj, valoras) 0 aŭ 1. Donita tia vico a₁, a₂, a₃,... unu povas mapa ĝi al la reela nombro

Ĝi estas ne malfacila al vidi (tiu, ke, kiu) ĉi tiu surĵeto estas a homeomorfio de 2^N sur la Aro de Kantor, kaj de ĉi tie (tiu, ke, kiu) 2^N estas ja Spaco de Cantor.

Topologia karakterizado de Cantor-a (spacoj, kosmoj, spacetoj) estas donita per _Brouwer_'s teoremo:

(Ĉiu, Iu) du ne-malplenaj kompaktaj Hausdorff-aj spacoj sen izolitaj punktoj kaj havanta numerebla (bazas, bazoj) konsistanta de _clopen_ aroj estas homeomorfia al unu la alian.

(La topologia propraĵo de havanta bazo konsistanta de _clopen_ aroj estas iam sciata kiel "nulo-dimensinombro".) Ĉi tiu teoremo povas esti _restated_ kiel:

A topologia spaco estas Spaco de Cantor se kaj nur se ĝi estas ne-malplena, perfekta, kompakta, tutece malkonektita, kaj _metrizable_.

Ĝi estas ankaŭ ekvivalento (tra (Ŝtona, Kerna) prezenta teoremo por Buleaj algebroj) al la fakto (tiu, ke, kiu) (ĉiu, iu) du numerebla _atomless_ Buleaj algebroj estas izomorfia.

Kiel povas esti atendita de _Brouwer_'s teoremo, Cantor-a (spacoj, kosmoj, spacetoj) aperi en kelkaj (formoj, formas). Sed ĝi estas kutime plej facila al alpaŝi 2^N, ekde pro ĝia speciala (produkto, produto) (formo, formi), multaj topologia kaj aliaj propraĵoj estas aĉetita ekster tre eksplicite.

Ekzemple, ĝi iĝas evidenta (tiu, ke, kiu) la kardinalo de (ĉiu, iu) Spaco de Cantor estas , tio estas, la kardinalo de la kontinuaĵo. Ankaŭ klara estas la fakto (tiu, ke, kiu) la (produkto, produto) de du (aŭ (eĉ, ebena, para) (ĉiu, iu) finia aŭ numerebla nombro de) Cantor-a (spacoj, kosmoj, spacetoj) estas Spaco de Cantor - grava fakto pri Cantor-a (spacoj, kosmoj, spacetoj).

Uzanta ĉi tiu lasta fakto kaj la Funkcio de Cantor, ĝi estas facila al konstrui pleniga spacon kurboj.

Cantor-a (spacoj, kosmoj, spacetoj) okazi en abundeco en reela analitiko. Ekzemple ili ekzisti kiel (subspacoj, subspacas) en ĉiu perfekta, plena metrika spaco. (Al vidi ĉi tiu, (tononomo, noto, noti) (tiu, ke, kiu) en tia spaco, (ĉiu, iu) ne-malplena perfekta aro enhavas du disa ne-malplena perfekta (subaroj, subaras) de arbitre malgranda diametro, kaj (do, tiel) unu povas imiti la konstruado de la kutima Aro de Kantor.) Ankaŭ, ĉiu nekalkulebla, apartigebla, plene _metrizable_ spaco enhavas Cantor-a (spacoj, kosmoj, spacetoj) kiel (subspacoj, subspacas). Ĉi tiu inkluzivas la plejparto de la komuna tipo de (spacoj, kosmoj, spacetoj) en reela analitiko. Kiel korolario, ni vidi (tiu, ke, kiu) apartigebla, plene _metrizable_ (spacoj, kosmoj, spacetoj) kontentigi la Kontinuaĵa hipotezo: Ĉiu tia spaco estas ĉu numerebla aŭ havas la kardinalo de la kontinuaĵo.

Kompaktaj metrikaj spacoj estas ankaŭ proksime rilatanta al Cantor-a (spacoj, kosmoj, spacetoj): A Hausdorff-a topologia spaco estas kompakta _metrizable_ se kaj nur se ĝi estas kontinua bildo de Spaco de Cantor.