Vikipedio:Projekto matematiko/Universala algebro

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al Universala algebro (eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

Universala algebro estas la kampo de matematiko (tiu, ke, kiu) studoj la (ideoj, ideas) komuna al ĉiuj algebraj strukturoj.

Enhavo 1 Baza ideo 2 (Ekzemploj, Ekzemplas) 2.1 (Grupoj, Grupas) 3 Plui (eldonas, aferoj) 4 Vidu ankaŭ jenon: 5 Ekstera (ligoj, ligas)

[redaktu] Baza ideo

De la punkto de vido de universala algebro, algebro (aŭ abstrakta algebro) estas aro A kaj ankaŭ kolekto de (operacioj, operacias) sur A. n-_ary_ operacio sur A estas funkcio (tiu, ke, kiu) prenas n eroj de A kaj redonas sola ero de A. Tial, 0-_ary_ operacio (aŭ _nullary_ operacio) povas esti (prezentita, prezentis) simple ero de A, aŭ konstanto, ofte signifis per (letero, litero) ŝati a. 1-_ary_ operacio (aŭ unuloka operacio) estas simple funkcio de A al A, ofte signifis per simbolo lokita (antaŭe, antaŭ) ĝia argumento, ŝati ~x. 2-_ary_ operacio (aŭ operacio (matematiko)) estas ofte signifita per simbolo lokita inter ĝia (argumentoj, argumentas), ŝati x * y. (Operacioj, Operacias) de pli alta aŭ _unspecified_ loknombro estas kutime signifita per funkcio (simboloj, simbolas), kun la (argumentoj, argumentas) lokita en parantezoj kaj apartigita per (komoj, komas), ŝati f(x,y,z) aŭ f(x₁,...,x_n). Iu (esploristoj, esploristas) permesi _infinitary_ (operacioj, operacias), kiel , permesanta la algebra teorio de plenaj kradoj al esti studita.

Post la (operacioj, operacias) havi estas precizigita, la naturo de la algebro povas esti plui (limigita, limigis) per (aksiomoj, aksiomas), kiu en universala algebro devas preni la (formo, formi) de _equational_ leĝoj. Ekzemplo estas la asocieca aksiomo por operacio (matematiko), kiu estas donita per la ekvacio x * (y * z) = (x * y) * z. La aksiomo estas intencita al teni por ĉiuj eroj x, y, kaj z de la aro A.

Laŭ _Yde_ _Venema_, "universala algebro povas vidiĝi kiel speciala branĉo de modela teorio, en kiu ni estas kontraktanta kun (strukturoj, strukturas) havanta (operacioj, operacias) nur (kio estas, ne rilatoj), kaj en kiu la lingvo ni uzi al (konversacii, konversacio, prelego) pri ĉi tiuj (strukturoj, strukturas) uzas ekvacioj nur." Aliflanke la (strukturoj, strukturas) estas tia (tiu, ke, kiu) ili povas esti difinita en (ĉiu, iu) kategorio kiu havas finia (produktoj, produktas, produktaĵoj, produktaĵas, produtoj, produtas).

[redaktu] (Ekzemploj, Ekzemplas)

[redaktu] (Grupoj, Grupas)

Al vidi kiel ĉi tiu estas supozita al laboro, estu's konsideri la difino de grupo. Normale grupo estas difinita en (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de sola operacio (matematiko) *, kun rezervo pri ĉi tiuj (aksiomoj, aksiomas):

• Asocieco (kiel en la antaŭa (alineo, paragrafo)): x * (y * z)  =  (x * y) * z.
• Identa ero: Tie ekzistas ero e tia (tiu, ke, kiu) e * x  =  x  =  x * e.
• Inverso: Por ĉiu x, tie ekzistas ero mi tia (tiu, ke, kiu) x * mi  =  e  =  mi * x.

(Iam vi estos ankaŭ vidi aksiomo (nomita, vokis) "(fermaĵo, adheraĵo)", (ŝtatanta, statanta) (tiu, ke, kiu) x * y apartenas al la aro A ĉiam x kaj y fari. Sed de universala algebrista punkto de vido, tio estas jam enhavita kiam vi (voko, voki) * operacio (matematiko).)

Nun ĉi tiu difino de grupo estas _problematic_ de la punkto de vido de universala algebro. La kaŭzo estas (tiu, ke, kiu) la (aksiomoj, aksiomas) de idento kaj inverso estas ne komencita pure en (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de _equational_ leĝoj sed ankaŭ havi (propozicioj, propozicias, klaŭzoj, klaŭzas) engaĝante la frazo "tie ekzistas ... tia (tiu, ke, kiu)". Ĉi tiu estas ne permesita en universala algebro. La solvaĵo estas ne malfacila; ni adicii _nullary_ operacio e kaj unuloka operacio ~, aldone al la operacio (matematiko) *, tiam listo la (aksiomoj, aksiomas) kiel sekvas:

• Asocieco: x * (y * z)  =  (x * y) * z.
• Identa ero: e * x  =  x  =  x * e.
• Inverso: x * (~x)  =  e  =  (~x) * x.

(Kompreneble, ni kutime skribi "x ^-1" anstataŭ "~x", kiu montras (tiu, ke, kiu) la skribmaniero por (operacioj, operacias) de malalta loknombro estas ne ĉiam kiel donita en la (sekundo, dua) (alineo, paragrafo).)

Nun, ĝi's grava al kontroli (tiu, ke, kiu) ĉi tiu (reale, reele) faras (enkapti, kapto) la difino de grupo. La kaŭzo (tiu, ke, kiu) ĝi povus ne estas (tiu, ke, kiu) preciziganta unu de ĉi tiuj universala (grupoj, grupas) povus postuli pli informo ol preciziganta unu de la kutima speco de (grupoj, grupas). Post ĉiuj, nenio en la difino de grupo diris (tiu, ke, kiu) la identa ero e estis unika; se estas alia identa ero e', tiam ĝi's ambigua rilate kiu devus esti la valoro de la _nullary_ operatoro e. Tamen, ĉi tiu estas ne problemo, ĉar identaj eroj estas ĉiam unika. La sama aĵo estas vera de inversoj. (Do, Tiel) la universala algebrista difino de grupo (reale, reele) estas ekvivalento al la kutima difino.

[redaktu] Plui (eldonas, aferoj)

Iam vi havi difinita la (operacioj, operacias) kaj (aksiomoj, aksiomas) por via algebro, vi povas nun difini la nocio de homomorfio inter du (algebroj, algebras) A kaj B. Homomorfio h: A &_rarr_; B estas simple funkcio de la aro A al la aro B tia (tiu, ke, kiu), por ĉiu operacio f (de loknombro, diri, n), h(f_A(x₁,...,x_n)) = f_B(h(x₁),...,h(x_n)). (Ĉi tie, subaj indicoj estas lokita sur f al indiki ĉu ĝi estas la versio de f en A aŭ B. En teorio, vi povita diri ĉi tiu de la ĉirkaŭteksto, (do, tiel) ĉi tiuj subaj indicoj estas kutime (maldekstre, restis) for.) Ekzemple, se e estas konstanto (_nullary_ operacio), tiam h(e_A) = e_B. Se ~ estas unuloka operacio, tiam h(~x) = ~h(x). Se * estas operacio (matematiko), tiam h(x * y) = h(x) * h(y). Kaj tiel plu. Kelkaj de la aĵoj (tiu, ke, kiu) povas esti farita kun (homomorfioj, homomorfias), kaj ankaŭ (difinoj, difinas) de certa speciala (specoj, specas) de (homomorfioj, homomorfias), estas listita sub la (termo, koeficiento, elemento) Homomorfio.

Ĉi tiu artikolo estas ankaŭ lakona al indiki la _breadth_ de la rezultoj de universala algebro. La motivado por la kampo estas la multaj (ekzemploj, ekzemplas) de (algebroj, algebras) (en la (senso, senco) de universala algebro), kiel (monoidoj, monoidas), (ringoj, ringas, sonoras), kaj (kradoj, kradas, latisoj, latisas). Antaŭ universala algebro venis laŭ, multaj (teoremoj, teoremas) (plej rimarkinde la izomorfiaj teoremoj) estis (pruvita, pruvis) aparte totale de ĉi tiuj kampoj, sed kun universala algebro, vi povas pruvi ilin iam kaj por ĉiuj por ĉia algebra sistemo.

Pli ĝeneraligita programo laŭ ĉi tiuj linioj estas portita ekster per teorio de kategorioj. Teorio de kategorioj aplikas al multaj (situacioj, situacias) kie universala algebro ne, etendanta la atingi de la (teoremoj, teoremas). Male, iu (teoremoj, teoremas) (tiu, ke, kiu) teni en universala algebro (justa, ĵus) don't ĝeneraligi ĉiu vojo al teorio de kategorioj. Tial ambaŭ kampoj de studi estas utila. La ligo estas (tiu, ke, kiu) donita listo de (operacioj, operacias) kaj (aksiomoj, aksiomas), la (korespondanta, respektiva) (algebroj, algebras) kaj (homomorfioj, homomorfias) estas la (objektoj, objektas) kaj strukturkonservantaj transformoj de kategorio.

[redaktu] Vidu ankaŭ jenon:

• Grava (eldonoj, eldonas) en universala algebro

[redaktu] Ekstera (ligoj, ligas)

• A Kurso en Universala Algebro estas libera konektite libro per _Stanley_ N. _Burrita_ kaj H.P. _Sankappanavar_