اثر پروانه‌ای

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد.

عبارت «اثر پروانه ای» در پی مقاله ای از ادوارد لورنتس بوجود آمد. وی در صد سی و نهمین اجلاس ای‌ای‌ای‌اس در سال 1972 مقاله ای با اين عنوان ارائه داد که «آيا بالزدن پروانه ای در برزيل می تواند باعث ايجاد تندباد در تکزاس شود؟»

لورنتس در حال تحقيق روی مدل رياضی بسيار ساده ای که از آب و هوای زمين، به يک معادله ديفرانسيل غير قابل حل رسيد. وی برای حل اين معادله به روشهای عددی با رایانه متوسل شد. او برای اينکه بتواند اين کار را در روزهای متوالی انجام دهد، نتيجه آخرين خروجی يک روز را به عنوان شرايط اوليه روز بعد وارد می کرد. لورنتس در نهايت مشاهده کرد که نتيجه شبيه سازی های مختلف با شرايط اوليه يکسان با هم کاملا متفاوت است. بررسی خروجی چاپ شده رایانه نشان داده که رویال مک‌بی (Royal McBee)، رایانه‌ای که لورنتس از آن استفاده می کرد، خروجی را تا 4 رقم اعشار گرد می کند. از آنجايي محاسبات داخل اين رایانه با 6 رقم اعشار صورت می گرفت، از بين رفتن دورقم آخر باعث چنين تاثيری شده بود. مقدار تغييرات در عمل گرد کردن نزديک به اثر بالزدن يک پروانه است. اين واقعيت غير ممکن بودن پيشبینی آب و هوا در دراز مدت را نشان می دهد.

مشاهدات لورنتس باعث پررنگ شدن مبحث نظریه آشوب شد. عبارت عاميانه «اثر پروانه ای» در زبان تخصصی نظریه آشوب، «وابستگی حساس به شرايط اوليه» ترجمه می شود.

به غير از آب و هوا، در سيستمهای پویای ديگر نيز حساسيت به شرايط اوليه به چشم می خورد. يک مثال ساده، توپی است که در قله کوهی قرار گرفته. اين توپ با ضربه بسيار کمی، بسته به اينکه ضربه از چه جهتی زده شده باشد، می تواند به هرکدام از دره های اطراف سقوط کند.

[ویرایش] تئوری

اغلب سیستم ها در دنيای واقعی طی تکرار يک عمليات مشخص کار می کنند. در مثال آب و هوای لورنتس فرايند گرم شدن سطح زمين از طرف خورشيد و سرد شدن جو از طريق تابش به فضای بیرون، فرايندی است که مدام تکرار می شود. می توان نشان داد که در چنين سيستمی بازه ای از مقادير اوليه با عث ايجاد رفتار آشوبناک می شود. مثال ساده زير را در نظر بگيريد:

$x_n = x_{n-1}^2 + c$

برای اينکه نتيجه عملکرد سيستم فوق را بتوانيم بهتر درک کنيم از نموداری به اين شرح استفاده می کنيم. ابتدا تابع $y = x 2 + c$ را رسم کرده و خط $y = x$ را نيز روی آن می کشيم. روی نمودار، مقداری اوليه ای برای $x 0$ درنظر می گيريم. مقدار $x 1$ با رسم يک خط عمودی از اين عدد تا نمودار $y = x 2 + c$ بدست می آيد. برای بدست آوردن نقطه بعدی بايد مقدار قبلی y را به جای مقدار فعلی x بگذاريم. اين کار با رسم يک خط افقی از نقطه برخورد قبلی تا نمودار $y = x$ انجام می شود. شکلهای زير با در نظر گرفتن $x 0 = 0$ و به ترتيب، از راست به چپ، $c = \frac{1}{4}, -\frac{3}{4}, -1.3, -1.4015, -1.8$ رسم شده اند:

مشاهده می شود که با ايجاد تغييرات جزيي در پارامتر، رفتار سيستم کاملا تغيير می کند. به چنين رفتاری «وابستگی حساس به شرايط اوليه» يا «اثر پروانه ای» می گويند.

اگر مجموعه مقاديری که x در طول عملکرد سيستم به خود می گيرد را نسبت به c رسم کنيم، شکل بدست آمده يک فراکتال (برخال) خواهد بود:

$image:Butterflyeffect_fractal1.gif$

[ویرایش] تعريف ریاضی

یک سیستم پویا بانقشه تکامل $f t$ وابستگی حساس به شرایط اولیه دارد، اگر نقاط نزدیک به هم با افزایش t از هم جدا شوند. اگر M فضای حالت نقشه $f t$ باشد، می گوییم $f t$ به شرایط اولیه وابستگی حساس نشان می دهد وقتی که حداقل یک δ>0 وجود داشته باشد بطوری که به ازای هر نقطه x∈M و هر همسایگی از N که x را در بر داشته باشد، نقطه ای مانند y در همسایگی N موجود بوده و در زمانی مانند τ رابطه $d(f^\tau(x), f^\tau(y)) > \delta \,.$ برقرار باشد.