Wilsonin lause
Wikipedia
Matematiikassa Wilsonin lauseen mukaan p on alkuluku, jos ja vain jos
.
[muokkaa] Historia
Lauseen keksi ensimmäisenä Ibn al-Haytham (tunnetaan myös nimellä Alhazen), mutta se on nimetty John Wilsonin mukaan, joka keksi tuloksen yli 700 vuotta myöhemmin. Edward Waring julkaisi tuloksen vuonna 1770, vaikka hän ja Wilson eivät kyenneet todistamaan lausetta. Joseph Louis Lagrange antoi ensimmäisen todistuksen vuonna 1773. Gottfried Leibniz tunsi myös tuloksen vuosikymmenen aikaisemmin, mutta ei koskaan julkaissut todistusta.
[muokkaa] Todistus
Jos p on pariton alkuluku, joukko G = (Z/pZ)× = {1, 2, ... p − 1} muodostaa multiplikatiivisen ryhmän modulo p suhteen. Tällöin kaikilla G:n alkioilla a on olemassa yksikäsitteinen käänteisalkio b, jolle ab ≡ 1 (mod p) ja joka on siis myös G:n alkio. Jos a ≡ b (mod p), on a2 ≡ 1 (mod p), jolloin a2 − 1 = (a + 1)(a − 1) ≡ 0 (mod p), ja koska p on alkuluku, on oltava a ≡ 1 tai −1 (mod p), joten a = 1 tai a = p − 1.
Toisin sanoen 1 ja p − 1 ovat toistensa käänteisalkiota, mutta kaikille muille G:n alkioille on olemassa toinen käänteisalkio, joten ryhmittelemällä tulon tekijät huomataan, että tuloksi tulee −1. Jos p=2 on helppo nähdä, että Wilsonin lause on voimassa
Toisaalta olkoon kongruenssirelaatio voimassa yhdistetylle luvulle n. Tällöin n:llä ön aito tekijä d, 1<d<n. Selvästi d jakaa (n − 1)!. Mutta kongruenssin perusteella d jakaa muös luvun (n − 1)! + 1, joten d jakaa ykkösen, mikä on ristiriita.
