Diagramme de Bode

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Le diagramme de Bode est un moyen de représenter le comportement fréquentiel d'un système. Il permet une résolution graphique simplifiée, en particulier pour l'étude des fonctions de transfert de systèmes analogiques. Il est utilisé pour les propriétés de marge de gain, marge de phase, gain continu, Bande passante, rejet des perturbations et stabilité des systèmes.

Sommaire

1 Définition
2 tracé asymptotique des systèmes analogiques
- 2.1 Systèmes du premier ordre
  - 2.1.1 Passe-bas
  - 2.1.2 Passe-haut
- 2.2 Systèmes du second ordre
  - 2.2.1 Passe-bas
  - 2.2.2 Passe-haut
3 retour au cas général
4 tracé des systèmes numériques
- 4.1 Limitation du domaine des pulsations
- 4.2 Transformation bilinéaire
5 Voir aussi

[modifier] Définition

Le diagramme de Bode d'un système de réponse fréquentiel $H(j\omega)\$ est composé de deux tracés :

le gain (ou amplitude) en décibels (dB). Sa valeur est calculée à partir de $20\log_{10}{(|H(j\omega)|)}\$ .
la phase en degré, donnée par $\arg{(H(j\omega))}\$

L'échelle des pulsations est logarithmique et est exprimée en rad/s (radian par seconde). L'échelle logarithmique permet un tracé très lisible, car composé majoritairement de tronçons linéaires.

[modifier] tracé asymptotique des systèmes analogiques

Prenons une fonction de transfert quelconque qui s'écrit de la façon suivante :

$H(p)=\alpha p^q \frac{\prod_{k=1}^K \left(1+2\xi_k\frac{p}{\omega_k}+\left(\frac{p}{\omega_k}\right)^2\right)\prod_{l=1}^L \left(1+\frac{p}{\omega_l}\right)}{\prod_{m=1}^M \left(1+2\xi_m\frac{p}{\omega_m}+\left(\frac{p}{\omega_m}\right)^2\right)\prod_{n=1}^N \left(1+\frac{p}{\omega_n}\right)}$

où $\alpha \in \mathbb R\ ;\ q \in \mathbb Z\ ;\ \omega_k,\omega_l,\omega_m,\omega_n \in \mathbb R^*\ ;\ \xi_k,\xi_m \in \mathbb R\$

Bien qu'une fonction de transfert puisse s'écrire de plusieurs façons, c'est de la façon décrite ci-dessus qu'il faut les écrire :

les termes constants des polynômes élémentaires du premier et du second degré doivent valoir $1$ . Pour cela utiliser la constante $α$ .
Les termes en $p$ des polynômes élémentaires du premier et du second degré doivent être au numérateur. (voir la réécriture de la fonction Passe-haut ci-dessous)

On remarque que le module de $H(p)\$ est égal à la somme des modules des termes élementaires en raison du logarithme. Il en va de même pour la phase, cette fois en raison de la fonction argument. C'est pourquoi on va dans un premier temps s'intéresser aux diagrammes de Bode des termes élementaires.

[modifier] Systèmes du premier ordre

[modifier] Passe-bas

Définition

Soit la fonction de transfert :

$H(p)=\frac{1}{1+\frac{p}{\omega_0}}\$

La pulsation $\omega_0\$ est appelée pulsation de coupure.

Tracé asymptotique

Pour $\omega \ll \omega_0,\ H(j\omega)\approx 1\$ donc $|H_{dB}(j\omega)|=0\$ et $\arg{(H(j\omega))}=0^\circ\$ .

Pour $\omega \gg \omega_0,\ H(j\omega)\approx -j\frac{\omega_0}{\omega}\$ donc $|H_{dB}(j\omega)|=-20\log_{10}(\omega)+20\log_{10}(\omega_0)\$ et $\arg{(H(j\omega))}=-90^\circ\$ .

Dans un repère logarithmique, $|H_{dB}(j\omega)|\$ se traduit par une pente de -20dB/Décade ou encore -6dB/Octave. On parle également de pente -1. Le diagramme de Bode asymptotique du module se résume donc à deux tronçons linéaires.

Tracé réel

en $\omega_0\$ , $|H(j\omega_0)|=\frac{1}{1+j}$ soit $|H_{db}(j\omega_0)|=20\log_{10}(\sqrt{2})=10\log_{10}(2)$ : la courbe passe 3dB en dessous de l'asymptote.

[modifier] Passe-haut

Soit la fonction de transfert :

$H(p)=\frac{1}{1+\frac{\omega_0}{p}} = \frac{\frac{p}{\omega_0}}{1+\frac{p}{\omega_0}}$

Le tracé s'obtient en prenant l'opposé du module en dB et de la phase du passe-bas.

[modifier] Systèmes du second ordre

[modifier] Passe-bas

Définition

Soit la fonction de transfert :

$H(p)=\frac{1}{1+2\xi\frac{p}{\omega_0}+\left(\frac{p}{\omega_0}\right)^2}\$

La pulsation $\omega_0\$ est appelée pulsation propre et $\xi\$ est l'amortissement.

Tracé asymptotique

Pour $\omega \ll \omega_0\ H(j\omega)\approx 1\$ donc $|H_{dB}(j\omega)|=0\$ et $\arg{(H(j\omega))}=0^\circ\$ .

Pour $\omega \gg \omega_0\ H(j\omega)\approx \left(\frac{\omega_0}{\omega}\right)^2\$ donc $|H_{dB}(j\omega)|=-40\log_{10}(\omega)+40\log_{10}(\omega_0)\$ et $\arg{(H(j\omega))}=-180^\circ\times \operatorname{signe(\omega_0\xi)}\$ .

Dans un repère logarithmique, $|H_{dB}(j\omega)|\$ se traduit par une pente de -40dB/Décade ou encore -12dB/Octave. On parle également de pente -2. Le diagramme de Bode asymptotique du module se résume donc à deux tronçons linéaires.

Tracé réel

Lorsque $\xi<\frac{\sqrt{2}}{2}\$ , le système présente une résonance de module $|H(j\omega)|_{max}=\frac{1}{2\xi\sqrt{1-\xi^2}}\$ en $\omega=\omega_0\sqrt{1-2\xi^2}\$ .

[modifier] Passe-haut

Soit la fonction de transfert :

$H(p)=1+2\xi\frac{p}{\omega_0}+\left(\frac{p}{\omega_0}\right)^2\$

Le tracé s'obtient en prenant l'opposé du module en dB et de la phase du passe-bas.

[modifier] retour au cas général

Comme nous l'avons fait remarquer plus haut, on pourrait additionner tous les diagrammes de bode des termes élementaires pour obtenir le diagramme de la fonction de transfert $H(p)\$ .

Cependant, lorsque cette fonction de transfert est compliquée, il est plus facile de prendre en compte les contributions de chaques termes au fur et à mesure en faisant croître la pulsation $\omega\$ .

Au début, lorsque $\omega\rightarrow 0\$ , l'asymptote du module est une droite de pente q (q*20dB/Décade) et la phase est constante à $q \times 90^\circ\$ . Par la suite, à chaque fois que l'on rencontre une pulsation , on modifie le tracé selon la procédure suivante :

Pour $\omega=\omega_k\$ on rajoute +2 à la pente du module (+40dB/Décade) et $180^\circ\times \operatorname{signe(\omega_k\xi_k)}\$ à la phase.
Pour $\omega=\omega_l\$ on rajoute +1 à la pente du module (+20dB/Décade) et $90^\circ \times \operatorname{signe(\omega_l)}\$ à la phase.
Pour $\omega=\omega_m\$ on rajoute -2 à la pente du module (-40dB/Décade) et $-180^\circ \times \operatorname{signe(\omega_m\xi_m)}\$ à la phase.
Pour $\omega=\omega_n\$ on rajoute -1 à la pente du module (-20dB/Décade) et $-90^\circ \times \operatorname{signe(\omega_n)}\$ à la phase.

[modifier] tracé des systèmes numériques

[modifier] Limitation du domaine des pulsations

Nous disposons cette fois d'une fonction de tranfert $G(z)=\mathcal{Z}\{g(n)\}\$ d'un système discret.

Pour obtenir son diagramme de Bode, il faut evaluer la fonction sur le cercle unité.

Autrement dit, $z=e^{2\pi j\nu} \$ avec $\nu \in \left[0;\frac{1}{2}\right]$ (on obtient le cercle complet par symétrie).

Si le système discret a été obtenu à partir de l'Échantillonnage à la période T d'un système continu , alors $z=e^{j\omega T} \$ avec $\omega \in \left[0;\frac{\pi}{T}\right]$ .

De plus, les relations $|G(z)|_{z=e^{2\pi j\nu}}\$ et $\operatorname{arg(G(z)_{z=e^{2\pi j\nu}})}\$ ne sont pas rationnelles en $\nu\$ . Par conséquence, l'étude du tracé est compliquée et nécessite des moyens informatiques.

[modifier] Transformation bilinéaire

Cependant, il existe une application permettant de se ramener au cas continu :

$z=\frac{\frac{2}{T}+w}{\frac{2}{T}-w}\$

ou la fonction réciproque $w=\frac{2}{T}\frac{z-1}{z+1}\$

Il s'agit d'une transformée de Möbius.

Cette transformation fait correspondre l'axe imaginaire $w=j\Omega\$ du domaine continu avec le cercle unité $z=e^{j\omega T}\$ du domaine discret avec $\omega=\frac{2}{T}\operatorname{arctan \left(\frac{T \Omega}{2}\right)}\$ .

Or, lorsque $\omega T\ll 1$ , on a $\omega\approx\Omega\$ , auquel cas on se retrouve dans le cas continu d'une fraction rationnelle à étudier. On peut alors se ramener à une étude classique des sytèmes analogique sur $\omega \in \left[0;\frac{\pi}{T}\right]$ en sachant que les valeurs du diagramme près de $\omega= \frac{\pi}{T}\$ sont entachées d'une erreur.