Magma (algèbre)
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Un magma (ou groupoïde) est une structure algébrique constituée d'un ensemble muni d'une loi de composition interne.
Aucun axiome n'est imposé sur cette loi de composition interne, souvent notée comme une multiplication. Le manque de richesse de cette structure algébrique fait qu'elle est rarement étudiée en tant que telle ; des magmas particuliers tel que les groupes, les monoïdes etc. sont bien plus souvent utiles.
[modifier] Exemples de magmas
est un magma associatif, commutatif et unifère. De plus, tout élément y est régulier. Il s'agit donc d'un monoïde commutatif et régulier, donc un semigroupe.
est également un monoïde commutatif, mais 0 n'étant pas régulier, ce n'est pas un semigroupe.
est un magma non-associatif et non-commutatif. Il n'est même pas unifère car, s'il admet un élément neutre à droite (0), il n'en admet pas à gauche. Par contre, ce magma est permutatif et régulier.- l'ensemble de base d'un espace vectoriel, privé du vecteur nul mais muni de l'addition vectorielle, est un magma associatif. Il peut être muni d'une relation d'équivalence (la colinéarité); l' ensemble-quotient correspondant, muni d'une addition dérivée de l'addition vectorielle, est alors un espace projectif.
- Murskii a montré en 1965 que le monoïde à trois élements {0,1,2} muni de la loi interne *
| * | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 2 | 0 | 2 | 2 |
ne possède pas d'axiomatisation équationnelle (ou base équationnelle) finie.
[modifier] Voir aussi
[modifier] Articles connexes
- Exponentialité
- Loi de composition interne
- Structures algébriques
