Stabilité EBSB

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En électrotechnique, plus spécifiquement en traitement du signal et en automatique, la stabilité EBSB est une forme de stabilité pour les signaux et les systemes. EBSB signifie Entrée Bornée/Sortie Bornée. Si un système est stable EBSB, alors la sortie est bornée quelque soit l'entrée bornée du système.

Sommaire

1 Condition dans le domaine temporel
- 1.1 Condition nécessaire et suffisante en temps continu
- 1.2 Condition nécessaire et suffisante en temps discret
2 Démonstration
- 2.1 démonstration de la condition nécessaire
- 2.2 démonstration de la condition suffisante
3 Condition dans le domaine fréquentiel
- 3.1 Signal continu
- 3.2 Signal discret
4 Voir aussi

[modifier] Condition dans le domaine temporel

[modifier] Condition nécessaire et suffisante en temps continu

En temps continu, un système est stabe EBSB si et seulement si sa réponse impulsionnelle est absolument integrable, i.e. que sa norme $\ell^1$ existe.

$\int_{-\infty}^{\infty}{\left|h(t)\right|dt} = \| h \|_{1} < \infty$

[modifier] Condition nécessaire et suffisante en temps discret

En temps discret, un système est stabe EBSB si et seulement si sa réponse impulsionnelle est absolument sommable, i.e. que sa norme $\ell^1$ existe.

$\sum_{n=-\infty}^{\infty}{\left|h(n)\right|} = \| h \|_{1} < \infty$

[modifier] Démonstration

[modifier] démonstration de la condition nécessaire

Prenons tout simplement $x(t)=\operatorname{signe}(h(-t))$

Alors $y(0)=\int_{-\infty}^{\infty}h(t)x(-t)dt=\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)|dt$

Or y(0) doit être borné, donc $\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)|dt$ l'est aussi.

[modifier] démonstration de la condition suffisante

Etant donné un système linéaire invariant (SLI) avec une réponse impulsionnelle $h(n)\$ la relation entre l'entrée $x(n)\$ et la sortie $y(n)\$ est

$y(n) = h(n) * x(n)\$

où $*$ est une produit de convolution. Alors en raison de la définition de la convolution, il vient :

$y(n) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}{h(k) x(n-k)}$

En notant $\| x \|_{\infty}$ la valeur maximale de $x(n)\$ , i.e. sa norme infinie.

$\left|y(n)\right| = \left|\sum_{k=-\infty}^{\infty}{h(n-k) x(k)}\right| \le \sum_{k=-\infty}^{\infty}{\left|h(n-k)\right| \left|x(k)\right|}$ (par l'inégalité triangulaire)

$\le \sum_{k=-\infty}^{\infty}{\left|h(n-k)\right| \| x \|_{\infty}}= \| x \|_{\infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty}{\left|h(n-k)\right|}$

$= \| x \|_{\infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty}{\left|h(k)\right|}$

Si $h(n)\$ stable EBSB, alors $\sum_{k=-\infty}^{\infty}{\left|h(k)\right|} = \| h \|_1 < \infty$ et

$\| x \|_{\infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty}{\left|h(k)\right|} = \| x \|_{\infty} \| h \|_1$

Donc si $\| x \|_{\infty} < \infty$ (i.e. il est borné) alors $\left|y(n)\right|$ est également borné parce que $\| x \|_{\infty} \| h \|_1 < \infty$ .

La démonstration en temps continu suit les mêmes arguments.

[modifier] Condition dans le domaine fréquentiel

[modifier] Signal continu

Soit un système à temps continu causal à fonction de transfert rationnelle. Le domaine de convergence de sa transformée de Laplace est l'ouvert à la droite de la ligne verticale dont l'abscisse est la partie réelle du plus grand pôle. (plus grand signifie ici que la partie réelle du plus grand pôle est plus grande que la partie réelle de n'importe quel autre pôle du système). Autrement dit :

$H(p)=\int_0^\infty h(t)e^{-pt}dt \mbox{ pour } \operatorname{Re}(p)>\sigma$

$\sigma\$ est appelé abscisse de convergence.

Prenons cette relation en zero :

$|H(0)|=\left|\int_0^\infty h(t)dt\right| \le \int_0^\infty |h(t)dt|$

La condition dans le domaine temporel impose que cette dernière intégrale soit bornée, c'est à dire que H(0) existe. Par conséquent, 0 est dans le domaine de convergence de H(p), ce qui signifie encore que $\sigma\$ est strictement négatif.

Par conséquence, un SLI discret continu à fonction de transfert rationnelle est stable EBSB si et seulement si tous les pôles se situent dans la partie gauche du plan complexe, c'est à dire à partie réelle strictement négative.

[modifier] Signal discret

Soit un système à temps discret causal à fonction de transfert rationnelle. Le domaine de convergence de sa transformée en Z est l'ouvert à l'extérieur du cercle dont le rayon est le module du pôle de plus grand module. Autrement dit :

$H(z)=\sum_{k=0}^\infty h(k)z^{-k} \mbox{ pour } |z|>z_0\$

Prenons cette relation en z=1 :

$|H(1)|=\left|\sum_{k=0}^\infty h(z)\right| \le \sum_{k=0}^\infty |h(z)|$

La condition dans le domaine temporel impose que cette dernière somme soit bornée, c'est à dire que H(1) existe. Par conséquent, 1 est dans le domaine de convergence de H(z), ce qui signifie encore que $z_0\$ est strictement inférieur à 1.

Par conséquence, un SLI discret causal à fonction de transfert rationnelle est stable EBSB si et seulement si tous les pôles sont inclus dans le cercle unité du plan complexe, c'est à dire de module strictement inférieur à 1.

[modifier] Voir aussi

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