Vector

Na Galipedia, a wikipedia en galego.

En física e mais no cálculo vectorial, un vector é un concepto caracterizado por un valor, ou sexa un escalar , e por un sentido (que pode ser definido nun espazo 3- dimensional, ou en xeral p-dimensional). Os vectores utilízanse para describir magnitudes tales como velocidade es, aceleracións ou forzas, nas cales é importante considerar non só o valor senón tamén a dirección e mais o sentido.

Aínda que frecuentemente se describa a un vector por un número de "compoñentes", cada un deles dependente do sistema de coordenadas particular que está usándose, as propiedades dun vector non dependen do sistema de coordenadas usado para o describir.

Un exemplo común dun vector é a forza -- ten un valor e unha orientación en tres dimensións (a diferenza de moitas dimensións espaciais que teñen unha), e a suma múltipla das forzas de acordo coa lei do paralelogramo.

En matemáticas, un vector é un elemento dunha estrutura alxébrica chamada espazo vectorial, que esencialmente é un conxunto de elementos cun conxunto de axiomas que debe satisfacer cada un de eles.

Matematicamente un vector pode ser tamén un conxunto de elementos ordenados entre si mais, a diferenza dun conxunto normal como o dos números naturais, neste caso o conxunto está ordenado.

Represéntase por un segmento orientado para denotar o seu sentido (o da frecha), a súa magnitude (a lonxitude da frecha) e mais o punto de onde parte. Para este tipo de vectores (xeralmente bi ou tridimensionais) defínense módulo, dirección e sentido.

Índice

1 Propiedades
2 Suma e resta de vectores
- 2.1 Método gráfico
- 2.2 Método analítico
3 Ligazóns Externas

[editar] Propiedades

Os vectores pódense representar con letras, cunha frecha enriba. Así: $\vec{a}$ .

Un vector ten as seguintes propiedades:

- Punto de aplicación, é a orixe do segmento.

- Módulo, expresa o valor numérico da magnitude vectorial. Represéntase pola lonxitude do segmento, sempre en valor absoluto. Por exemplo, se se quere expresar que o módulo de $\vec{a}$ vale 5 unidades, faise así: $|\vec{a}|=5u$ .

- Dirección, que é a do segmento. Á recta que contén o vector chámaselle liña de acción.

- Sentido, distinguíndose dous sentidos sobre a recta de aplicación do vector.

Dise que dous vectores son concorrentes cando teñen o mesmo punto de aplicación.

Un vector oposto a outro é o que ten o mesmo punto de aplicación, módulo e dirección mais sentido contrario. Así o vector oposto a $\vec{a}$ é $-\vec{a}$ .

Expresado con fórmulas, dado un vector $\vec{r}$ de coordenadas (x,e,z) ( $\vec{r}=(x,e,z)$ ) o seu módulo é $|\vec{r}| = \sqrt{x^2 + e^2 + z^2}$ . A súa dirección está dada pola recta que contén a dito vector, e o seu sentido pode ser "para un lado" ou "para o outro".

Tamén se pode separar un vector en módulo, e dar a dirección e sentido cun vector unitario que se calcula como: $\vec{r_OU} = \frac{x_i + e_x + z_k}{|\vec{r}|}$ , sendo i, x e k os vectores (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1) respectivamente.

Ver tamén escalar.

[editar] Suma e resta de vectores

Suma de vectores

Resta de vectores

[editar] Método gráfico

A suma e a resta de vectores ten en conta, ademais da magnitude escalar ou módulo, o sentido das magnitudes intervintes.

Nas figuras achegadas nesta páxina esquematízase o método gráfico para buscar o resultado.

[editar] Método analítico

[editar] Módulo resultante

Dados dous vectores $\vec{a}$ e $\vec{b}$ , de módulos coñecidos e que forman o ángulo $θ$ entre si, pódese obter o módulo $\left|\vec{a}+\vec{b}\right|$ coa seguinte fórmula:

$\left| \vec{a} + \vec{b} \right| = \sqrt{\left. | \vec{a} \right|^2 + \left| \vec{b} \right|^2 + 2| \vec{a} | \left| \vec{b} \right| \cos \theta }$

[editar] Dedución da expresión

Sexan dous vectores $\vec{a}$ e $\vec{b}$ que forman un ángulo $θ$ entre si:

Image:Sumavectores.png

A fórmula para calcular $\left| \vec{a} + \vec{b} \right|$ dedúcese observando os triángulos rectángulos que se forman, OCB e ACB, e aplicando o Teorema de Pitágoras. No triángulo OCB:

$O B 2 = O C 2 + C B 2$

$OB = | \vec{a} + \vec{b} |$

$OC = \left| \vec{a} \left| + AC \right. \right.$

Resultando:

$\left| \vec{a} + \vec{b} \right|^2 = \left( | \vec{a} | + AC \right)^2 + CB^2$

No triángulo ACB :

$\frac{AC}{| \vec{b} |} = \cos \theta$

$AC = | \vec{b} | \cos \theta$

$\frac{CB}{| \vec{b} |} = sen \theta$

$CB = | \vec{b} | sen \theta$

Substituíndo isto na igualdade de antes resulta:

$\left| \vec{a} + \vec{b} \right|^2 = \left( | \vec{a} | + | \vec{b} | \cos \theta \right)^2 + \left( \left| \vec{b} | sen \theta \right)^2 \right.$

$\left. \left| \vec{a} + \vec{b} \right|^2 = | \vec{a} |^2 + 2| \vec{a} | | \vec{b} \right| \cos \theta + \left| \vec{b} \right|^2 \cos^2 \theta + \left| \vec{b} \right|^2 sen^2 \theta$

$\left. \left| \vec{a} + \vec{b} \right|^2 = | \vec{a} |^2 + 2| \vec{a} | | \vec{b} \right| \cos \theta + \left| \vec{b} \right|^2 \left( \cos^2 \theta + sen^2 \theta \right)$

$\left. \cos^2 \theta + sen^2 \theta = 1 \rightarrow \left| \vec{a} + \vec{b} \right|^2 = | \vec{a} |^2 + 2| \vec{a} | | \vec{b} \right| \cos \theta + \left| \vec{b} \right|^2$