אלגברת לי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

במתמטיקה, אלגברת לי (נקראת על שם סופוס לי) היא מבנה אלגברי אשר בין שימושיו העיקריים חקירת עצמים גאומטריים כגון חבורות לי ויריעות גזירות, כמו גם חבורות-p. זוהי הדוגמה החשובה ביותר לאלגברה לא אסוציאטיבית.

תוכן עניינים

1 הגדרה
2 דוגמאות
3 המבנה של אלגברות לי
4 ראו גם

[עריכה] הגדרה

אלגברת לי היא מרחב וקטורי $\ V$ מעל שדה $\ \mathbb{F}$ (בדרך כלל, השדה הממשי או השדה המרוכב) ביחד עם פעולה בינארית $\ [\cdot, \cdot] : V \rightarrow V$ הנקראת "סוגריים של לי" (Lie brackets), המקיימת את התכונות הבאות:

בי-לינאריות, כלומר לינאריות בשני הרכיבים:
- $\ [ax + by, z] = a [x, z] + b [y, z]$ , וכן
- $\ [z, ax + by] = a[z, x] + b[z, y]$
- לכל $\ a$ ו- $\ b$ בשדה $\ \mathbb{F}$ ולכל $\!\, x$ , $\ y$ ו- $\ z$ ב- $\ V$ .
זהות יעקובי, כלומר: $\ [x,[y,z]]+[[y,[z,x]]+[[z,[x,y]]=0$
$\!\, [x,x]=0$ לכל $\!\, x$ ב- $\ V$

ניתן להסיק משילוב התכונות הראשונה והשלישית כי $\ [x,y]=-[y,x]$ לכל x, y ב- $\ V$ . תכונה זאת נקראת "אנטי-סימטריות". כמו-כן, ניתן לקבל מהנחת האנטי-סימטריות, כל עוד המאפיין של $\ \mathbb{F}$ אינו 2, את התכונה השלישית.

חשוב לשים לב כי המכפלה המוצגת על ידי סוגרי לי בדרך כלל אינה אסוציאטיבית, כלומר: $\ [x,[y,z] ]]\ne[[x,y],z]$ .

[עריכה] דוגמאות

אלגברה טריוויאלית: כל מרחב וקטורי $\ V$ הופך באופן טריוויאלי לאלגברת לי עם סוגרי לי השווים זהותית 0 ( $\ \forall v,w : \ [v,w]=0$ )
המרחב הווקטורי $\ \mathbb{R}^3$ עם המכפלה הווקטורית הוא אלגברת לי
בהינתן אלגברה אסוציאטיבית $\ A$ עם פעולה $\ *$ אפשר להגדיר אלגברת לי עם הפעולה $\ [x,y]=x*y-y*x$ (פעולה הידועה בשם "קומוטטור"). ניתן גם להראות כי כל אלגברת לי ניתנת לשיכון באלגברת לי הנוצרת מאלגברה אסוציאטיבית (משפט פואנקרה-בירקהוף-וויט).
מרחב השדות הווקטורים החלקים על יריעה גזירה יוצרת אלגברת לי מממד אינסופי, באופן הבא: עבור שני שדות וקטוריים $\ X,Y$ עם אופרטור גזירה חלקית נגדיר את מכפלת לי שלהם לכל פונקציה סקלרית על היריעה $\ f$ להיות $\ [X,Y](f)=(XY-YX)(f)$ . זאת אלגברת לי של חבורת הלי מממד אינסופי של הדיפאומורפיזמים על היריעה.

[עריכה] המבנה של אלגברות לי

תורת המבנה של אלגברות לי ידועה בעקבות עבודות של אלי קרטן ואחרים. לאלגברת לי מממד סופי יש רדיקל (אידאל פתיר מקסימלי), ומודולו הרדיקל האלגברה פשוטה למחצה, ומתפרקת לסכום ישר של אלגברות לי פשוטות.

אחת התוצאות הבסיסיות בתחום היא המיון של אלגברות לי פשוטות מעל שדה סגור אלגברית ממאפיין 0. ישנן ארבע משפחות אינסופיות $\ A_n,B_n,C_n,D_n$ , ועוד חמש אלגברות 'ספורדיות': $\ G_2,F_4,E_6,E_7,E_8$ . מיון דומה מופיע גם בתחומים אחרים של המתמטיקה: חבורות קוקסטר, חבורות סופיות פשוטות, טיפוסי סינגולריות בגאומטריה אלגברית, ועוד.