נגזרת חלקית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

במתמטיקה, נגזרת חלקית של פונקציה בכמה משתנים היא נגזרת של הפונקציה באחד ממשתניה, כאשר מתייחסים לשאר המשתנים כאל קבועים.

[עריכה] הגדרה פורמלית

תהא $f\left(x_1,\dots,x_n\right)$ פונקציה ב $\!\, n$ משתנים. נסמן את הנגזרת החלקית של $\!\, f$ על פי $\!\, x_k$ בעזרת הסימון $\frac{\partial f}{\partial x_k}$ , והיא תוגדר כך:

$\frac{\partial}{\partial x_k}f\left(x_1,\dots,x_k,\dots,x_n\right)=\lim_{h\rarr 0}\frac{f\left(x_1,\dots,x_k+h,\dots,x_n\right)-f\left(x_1,\dots,x_k,\dots,x_n\right)}{h}$ .

סימונים מקובלים נוספים לנגזרת החלקית על פי $\!\, x_k$ הם $\!\, f_{x_k},f^{'}_{x_k}$ וכן $\ \partial_{x_k} f \ \ , \ \ \partial_{k}f$ כאשר $\ \partial_{x_k}$ הוא אופרטור גזירה חלקית לפי המשתנה $x k$ .

הגרדיאנט של פונקציה בנקודה מסוימת הוא וקטור הנגזרות החלקיות שלה באותה נקודה. הגרדיאנט בנקודה $\!\,a$ כלשהי יוגדר כך:

$\operatorname{grad}f(a) = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}(a), \dots , \frac{\partial f}{\partial x_n}(a) \right)$

ראו עוד: אנליזה וקטורית.

[עריכה] דוגמאות

נביט בפונקציה $\!\, f(x,y)=x^y$ . אם מסתכלים על הפונקציה בתור פונקציה של $\!\,x$ בלבד, כאשר $\!\,y$ קבוע, זוהי פונקציה של פולינום. לעומת זאת, כאשר מסתכלים עליה בתור פונקציה של $\!\,y$ ועל $\!\,x$ בתור קבוע, זוהי פונקציה מעריכית. על כן, הנגזרות החלקיות שלה הן: $\!\,\frac{\partial f}{\partial x}=yx^{y-1},\frac{\partial f}{\partial y}=\ln x \cdot x^y$ .
נביט בפונקציה $\!\, f(x,y)=x$ . לכאורה זוהי פונקציה במשתנה אחד, אך ניתן להביט עליה גם כעל פונקציה מרובת משתנים, כאשר היא קבועה לכל משתנה שאינו $\!\,x$ . על כן, הנגזרות החלקיות שלה הן: $\!\,\frac{\partial f}{\partial x}=1,\frac{\partial f}{\partial y}=0$ .