קומוטטיביות
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
פעולה קומוטטיבית או חילופית היא פעולה מתמטית המופעלת על שני איברים, בלי חשיבות לסדרם. בניסוח פורמלי, הפעולה שנסמן ב-"+" (לאו דווקא פעולת החיבור ה"אמיתית") היא קומוטטיבית אם ורק אם לכל a,b מתקיים:
a+b=b+a
פעולת החיבור, למשל, היא פעולה חילופית: הביטוי 5+3 זהה בכל המובנים לביטוי 3+5.
אולם פעולת החזקה אינה פעולה קומוטטיבית. נראה זאת בעזרת דוגמה נגדית:
.
בחקר תכונותיהם של מבנים אלגבריים, תכונת הקומוטטיביות היא אחת התכונות המרכזיות העולות לדיון.
[עריכה] (העדר) הקשר עם אסוציאטיביות
אין קשר ישיר בין קומוטטיביות לתכונה אחרת של פעולות בינריות, אסוציאטיביות:
- ישנן פעולות שהן גם קומוטטיביות וגם אסוציאטיביות (לדוגמה: חיבור וכפל במספרים).
- ישנן פעולות שהן לא קומוטטיביות ולא אסוציאטיביות (לדוגמה: חיסור וחילוק).
- ישנן פעולות שהם קומוטטיביות אבל לא אסוציאטיביות (למשל: הערך המוחלט של ההפרש, פעולת הכפל באלגברת לי או באלגברת ז'ורדן).
- ישנן פעולות שהן לא קומוטטיביות אבל כן אסוציאטיביות (למשל: הפעולה המוגדרת לפי
, או כפל מטריצות).
