תורת שטורם-ליוביל

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

במתמטיקה, תורת שטורם-ליוביל עוסקת בחקר משוואות דיפרנציאליות מסוימות ומציאת התנאים שבהם יש להן פתרון. לתורה שימושים רבים במתמטיקה שימושית ובתורת המשוואות הדיפרנציאליות החלקיות.

תוכן עניינים

1 תיאור
2 דוגמאות ושימושים
- 2.1 משוואת החום
- 2.2 משוואת שרדינגר
3 ראו עוד

[עריכה] תיאור

תורת שטורם-ליוביל (על שם המתמטיקאים צ'ארלס שטורם וז'וזף ליוביל) עוסקת בחקר משוואות דיפרנציאלית מהצורה

${d\over dx}\left(p(x){dy\over dx}\right)+q(x)y=\lambda w(x)y$

כאשר $\ \lambda$ הוא פרמטר, ולרוב בנוסף למשוואה נתונים ערכי $\ y,y'$ בקצוות הקטע שעליו חוקרים את המשוואה.

חלק מהבעיה הוא מציאת ערכים של הפרמטר $\ \lambda$ שעבורם יש למשוואה פתרון. פתרונות של המשוואה הם פונקציות עצמיות של אופרטור גזירה הרמיטי מעל מרחב פונקציות שמוגדר על ידי תנאי הקצה.

[עריכה] דוגמאות ושימושים

[עריכה] משוואת החום

משוואת החום (נקראת גם משוואת הדיפוזיה) היא משוואה הבאה מעולם התרמודינמיקה ועוסקת במעבר חום דרך הולכה או פעפוע. המשוואה נתונה על ידי

$\ \partial_x^2 \Psi(x,t) = \partial_t \Psi(x,t)$

נפתור אותה עם תנאי התחלה

$\ \Psi(x,0) = \Psi_0(x)$

ותנאי שפה

$\ \Psi(0,t) = \Psi( \pi , 0) = 0$

נבצע הפרדת משתנים $\ \Psi(x,t) = R(x) \cdot T(t)$ ונקבל אחרי העברת אגפים

$\ R''(x)/R(x) = T'(t)/T(t)$

מאחר שאגף ימין תלוי רק ב t ושווה לאגף שמאל שתלוי רק ב x נובע שכל אגף שווה לקבוע. כלומר:

$\ T'(t) = -\omega T(t) \quad , \quad R''(x) = -\omega R(x)$

לכן, קיבלנו שתי משוואות דיפרנציאליות לכל קבוע הפרדה $\ -\omega$ ובסה"כ מערכת של אינסוף משוואות. סימן המינוס נבחר מסיבות פיזיקליות. נפתור כל משוואה דיפרנציאלית לחוד ונקבל

$\ T(t) = T_0 \exp( -\omega t)$

$\ R(x) = A \sin( \sqrt{\omega} x) + B \cos( \sqrt{\omega} x)$ .

אם נציב את תנאי השפה נקבל שהפתרון עבור x יהיה מהצורה

$\ R_n(x) = A_n \sin(n x)$ לכל $\ 1 \le n \in \mathbb{N}$

לכן, יש לנו רק מספר בן מניה של קבועי הפרדה, והם נתונים על ידי

$\ \omega_n = n^2 \quad n = 1,2,3, \cdots$ .

לכן, קיבלנו אינסוף (ליתר דיוק אלף 0) פתרונות מהצורה:

$\ \Psi_n(x,t) = A_n \sin (nx) \exp( -n^2 t)$

זהו בעצם בסיס למרחב הפתרונות של המד"ח.

ואכן, מכיוון שהמד"ח המקורית היא לינארית, כל צירוף לינארי של פתרונות, הפתרון הכללי יהיה

$\ \Psi(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty}{A_n \sin (nx) \exp( -n^2 t) } = \sum_{n=1}^{\infty}{A_n e^{-n^2 t} \sin(n x)}$

את הקבועים $A n$ נמצא באמצעות תנאי ההתחלה ושיקולים של אורתוגונליות. מציבים t=0 ואז מקבלים טור פורייה, שהוא פיתוח בבסיס ההרמוני (בסיס של סינוסים וקוסינוסים) בקטע $[ - π,π]$ . מאחר שבידינו יש רק סינוסים בטור, נוכל לעשות המשכה אי-זוגית של הפתרון ותנאי ההתחלה ולמצוא את המקדמים $A n$ כמקדמי הפיתוח של טור פורייה של תנאי ההתחלה.

כעת נפתור אותה עם תנאי התחלה

$\ \Psi(x,0) = \Psi_0(x)$

ועם תנאי השפה

$\ \Psi(0,t) = 0$ בלבד.