Banach-tér

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A Banach-tér a modern analízis egyik alapvető fogalma. Teljes normált vektorteret értünk alatta, vagyis olyan vektorteret, mely a normából származtatott metrikára nézve teljes.

A pontos definíció tehát a következő:

A $V$ vektorér Banach-tér pontosan akkor, ha értelmezett rajta egy ||.|| norma, melyre teljesül, hogy a belőle $d (a, b): = | | a - b | |$ összefüggéssel származtatott $d$ távolságra nézve a $V$ tér teljes, vagyis a $V$ térben minden Cauchy-sorozat konvergens.

[szerkesztés] Elnevezés

A Banach-tér elnevezés Stefan Banach lengyel matematikus nevét őrzi aki 1932-es monográfiájában (Théorie des opérations linéaires, Varsó) tárgyalta először részletesen és rendszeresen a teljes normált vektorterek tulajdonságait. A Banach-terek fogalmának egyébként magyar vonatkozása is van: a Banach-terekkel foglalkozó szakemberek a Banach-terek prototípusának az elsőként Riesz Frigyes magyar matematikus által tárgyalt $L p$ tereket szokták tekinteni. A Banach-tér tehát tekinthető úgy, mint az $L p$ terek absztrahálásából született fogalom.

[szerkesztés] Példák

1. Az $L p$ és $\mbox{ }_{\ell^{\,^p}}$ terek (1 ≦ p ≦ $\mbox{ }_{\infty}$ ) is Banach-terek.

2. Az adott $[a, b]$ intervallumon folytonos függvények $C [a, b]$ tere Banach-tér.

3. Az adott $[a, b]$ intervallumon korlátos változású függvények $V [a, b]$ tere Banach-tér.

4. Az $n$ -dimenziós $E n$ euklideszi terek Banach-terek. Így természetesen a valós számok R halmaza is Banach-teret alkot.

5. A komplex számokból képzett $n$ -dimenziós vektorok Cⁿ tere is Banach-teret alkot.

[szerkesztés] Néhány fontos tulajdonság

A Banach-terek tekinthetők a Hilbert-terek általánosításának, mivel minden Hilbert-tér egyben Banach-tér is.

Megfordítva: egy Banach-tér pontosan akkor Hilbert-tér (vagyis pontosan akkor származtatható normája valamely skalárszorzatból), ha a tér feletti norma teljesíti a paralelogramma-azonosságot (ez a Jordan–Neumann-tétel).

Véges dimenziós normált vektorterek mind Banach-terek, hiszen az azonos dimeniójúak topologikusan izomorfak (véges dimenziós térben minden norma ekvivalens).

Banach-térbe ható korlátos lineáris transzformációk maguk is Banach-teret alkotnak.

[szerkesztés] Források

Járai Antal (2002): Mérték és integrál. Nemzeti Tankönykiadó, Budapest.
Kérchy László (1997): Bevezetés a véges dimenziós vektorterek elméletébe. Polygon, Szeged.
Mikolás Miklós (1978): Valós függvénytan és ortogonális sorok. Tankönyvkiadó, Budapest.
Szőkefalvi-Nagy Béla (1972): Valós függvények és függvénysorok. Tankönyvkiadó, Budapest.