Sigma-algebra

Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu

Í stærðfræði er σ-algebra (borið fram sigma algebra) eða σ-svið yfir mengi X fjölskylda af hlutmengjum í X sem eru lokuð undir teljanlegum mengjaaðgerðum; σ-algebrur eru aðallega notuð til þess að skilgreina mál á X. Hugtakið er mjög mikilvægt í stærðfræðigreiningu og líkindafræði.

[breyta] Formleg skilgreining

Formlega má segja að Σ sé σ-algebra ef og aðeins ef að það hefur eftirfarandi eiginleika:

Tómamengið er stak í Σ.

$\emptyset \in \bold{\Sigma}$
Ef E er stak í Σ, þá er fyllimengi þess einnig í Σ.

$E \in \bold{\Sigma} \Rightarrow E^{\bold{c}} \in \bold{\Sigma}$
Ef $E 1, E 2, E 3,...$ er teljanleg runa í Σ þá er (teljanlega) sammengi þeirra einnig í Σ

$E_1, E_2, E_3,...\in \bold{\Sigma} \Rightarrow \bigcup_{i=1}^{\infty} E_i \in \bold{\Sigma}$

Það leiðir af 1 og 2 að X sé stak í Σ; frá 2 og 3 leiðir að σ-algebran er lokuð undir teljanlega skurði, samanber reglur De Morgans.

Stök í σ-algebru eru kölluð mælanleg mengi. Röðuð tvennd (X, Σ), þar sem að X er mengi og Σ er σ-algebra yfir X er sögð vera mælanlegt rúm. Vörpun milli tveggja mælanlegra rúma er sagt mælanlegt ef að varpmengi allra mælanlegra mengja er mælanlegt. Safn mælanlegra rúma mynda ríki og mælanlegu föll þeirra eru mótannir. Mál er skilgreint sem ákveðnar tegundir varpanna frá σ-algebru yfir í $[0, \infty]$ .

σ-algebrur eru stundum táknuð með stórum stöfum af Fraktur leturgerð. Því gæti $\mathfrak{F}$ verið notað til að tákna (X,Σ). Stundum er notast við „skrifaða“ stafi í stað Σ, til dæmis væri $(X,\mathcal{A})\,\;$ notað í stað $(X,Σ)$ . Þetta getur verið gagnlegt til þess að forðast misskilning þar sem að Σ er gjarnan notað sem summuvirki.

[breyta] Dæmi

Í líkindafræði er $Ω$ látið tákna mengi allra hugsanlegra útkoma úr einhverri aðgerð, til dæmis teningakasti. Þá er safn allra atburða, þ.e. hlutmengja í $Ω$ σ-algebra. Þ.e., $Ω$ er atburður, ef $A$ er atburður er $A^{\bold{c}}$ atburður, og ef $A 1, A 2,...$ eru atburðir er $\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i$ einnig atburður.

Á Evklíðska rúminu $\mathbb{R}^n$ er til önnur mikilvæg σ-algebra: fjölskylda allra Lebesgue-mælanlegra mengja. Það inniheldur fleiri mengi en Borel algebran á $\mathbb{R}^n$ og er mjög mikilvægt í tegurfræði.

[breyta] Sjá einnig

Svið mengja
Mælanlegt fall
Úrtaksrúm
Lebesgue-heildið
Mál
Líkindamál

[breyta] Heimildir

Greinin „Sigma-algebra“ á ensku útgáfu Wikipedia. Sótt 9. janúar 2006.
Inngangur að líkinda- og tölfræði, hefti eftir Hermann Þórisson og Skúla Hauk Sigurðarson, 2005.
Introduction to Probabilty and Statistics for Engineers and Scientists, þriðja útgáfa, Sheldon M. Ross, 2004. ISBN 0-12-598057-4