Pendolo

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Il pendolo semplice

Il pendolo, detto anche pendolo semplice, è un sistema fisico molto semplice, costituito da un filo inestensibile e da una massa m fissata alla sua estremità.

I primi esperimenti fatti su tale sistema risalgono a Galileo Galilei, che ne ha anche descritto dettagliatamente il moto.

Tale sistema può essere studiato molto semplicemente andando ad esaminare il tipo di moto che la massa, sottoposta alla forza di gravità, compie. La massa in questione oscilla, lungo una traiettoria circolare. Si può quindi scrivere la sua velocità angolare:

$\omega = \frac {\operatorname {d} \vartheta}{\operatorname {d} t}$

Quello cui, però, si è interessati è l'accelerazione:

$\alpha = \frac {\operatorname {d} \omega}{\operatorname {d} t} = \frac {\operatorname {d}^2 \vartheta}{\operatorname {d} t^2}$

Ora, per ogni posizione del pendolo, descritta dall'angolo θ misurato rispetto alla verticale, e detta l la lunghezza del filo, si può determinare il modulo dell'accelerazione tangenziale (vedi moto circolare):

a = - g sinθ

Poiché il sistema è in equilibrio, la somma di quest'ultima e di quella calcolata in precedenza deve essere nulla. Si ottiene, così:

$\frac {\operatorname {d}^2 \vartheta}{\operatorname {d} t^2} + \frac {g}{l} \sin \vartheta = 0$

che risulta essere l'equazione del moto del pendolo.

Per angoli piccoli (formalmente, quando sinθ ~ θ) l'equazione diventa:

$\frac {\operatorname {d}^2 \vartheta}{\operatorname {d} t^2} + \frac {g}{l} \vartheta = 0$

che è un'equazione differenziale del II ordine e facilmente risolvibile. Diventa così possibile determinare anche il periodo di una oscillazione completa, ovvero il tempo impiegato dal pendolo per andare da un estremo all'altro e ritornare nell'estremo iniziale. Si ha infatti che l'accelerazione del pendolo è:

$a = - g \sin\vartheta$

Ma $\sin\vartheta$ è il rapporto tra la lunghezza $l$ del pendolo e la sua posizione $x$ , sicché l'accelerazione diventa:

$a = - \frac{g}{l} x$

che è del tipo $a = - ω 2 x$ del moto circolare uniforme. Da questo deriva che

$\omega=\sqrt{\frac{g}{l}}$

e in definitiva

$T = 2 \pi \sqrt \frac {l}{g}$

Nell'ipotesi di angoli piccoli, dunque, la legge di oscillazione è indipendente dalla massa e dall'ampiezza dell'oscillazione stessa, ovvero dall'angolo tra la posizione iniziale e quella di riposo.

Dal punto di vista energetico, infine, nelle posizioni estreme si ha solo energia potenziale gravitazionale, ovvero la particella ha solo energia di posizione e non di movimento; mentre nel punto di minimo vi è solo [[energia cinetica]], cioè solo energia di movimento e non di posizione. (Tutto ciò vero solo se si è scelto il punto di minimo come riferimento a potenziale nullo).

[modifica] Pendolo fisico

Quanto detto sino ad ora vale per oggetti considerabili come puntiformi. In tal caso, il peso lo si pensa concentrato nel centro di massa. Tuttavia si tratta pur sempre di un'approssimazione; per corpi di dimensioni non trascurabili è opportuno effettuare nuove considerazioni. la forza netta agente sul pendolo è:

$F = ma = -mg\sin\vartheta$

Il momento risultante sul pendolo è pertanto il prodotto tra tale forza e la distanza dal perno del centro di massa del corpo. In formule si ha:

$I\alpha = Fd \; \Rightarrow \; I\alpha = -mgd\sin\vartheta$

dove $I$ rappresenta il momento di inerzia del pendolo rispetto al centro di rotazione, che è il perno attorno al quale avviene la rotazione. Anche qui vale quanto detto prima per l'angolo (bisogna anche qui considerare piccole oscillazioni) $\vartheta$ , e quindi si arriva a

$\frac{\operatorname{d}^2 \vartheta}{\operatorname{d} t^2} + \frac {mgd}{I} \vartheta = 0$

da cui si ricava, in modo analogo al pendolo semplice, il periodo:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{mgd}}$

Confrontando questa formula con la corrispondente del pendolo semplice, si può concludere che il pendolo fisico oscilla con lo stesso periodo di un pendolo semplice di lunghezza

$l = \frac{I}{md}$

Tale lunghezza è detta lunghezza ridotta o lunghezza equivalente del pendolo fisico.

[modifica] Pendolo cicloidale

Il pendolo cicloidale è un tipo di moto periodico ideato da Huygens intorno al 1659 con una peculiare proprietà: le sue oscillazioni sono isocrone indipendentemente dalla loro ampiezza. Si è visto infatti che questo vale nel caso del pendolo semplice solo per ampiezze abbastanza piccole. Huygens dimostrò invece che un punto materiale che oscilla seguendo una traiettoria cicloidale sotto l'azione della gravità ha un periodo costante che dipende unicamente dalle dimensioni dellla cicloide.

L'equazione della cicloide in forma parametrica è

$x = a (\theta - \sin{\theta}) \; ; \; y = a (1 + \cos{\theta})$

dove a è la lunghezza del raggio della circonferenza che genera la cicloide. Siano quindi x e y le coordinate del punto di massa m che oscilla sotto l'azione della gravità. L'energia potenziale del punto è

U = m g y

mentre l'energia cinetica è

$K = \frac{1}{2}(\dot{x}^{2} + \dot{y}^{2})$ .

Poiché

$\dot{x} = a\dot{\theta}(1 - \cos{\theta}) \; ; \; \dot{y} = - a \dot{\theta} \sin{\theta}$

si ha

$\dot{x}^{2} + \dot{y}^{2} = 2 a^{2} \dot{\theta}^{2} (1 - \cos{\theta})$

e ricordando le trasformazioni

$\cos{\frac{\theta}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \cos{\theta}}{2}}$

$\sin{\frac{\theta}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \cos{\theta}}{2}}$

si ottiene

$U = 2mga \left(\cos{\frac{\theta}{2}}\right)^{2} \; ; \; K = 2m a^{2} \dot{\theta}^{2} \left(\sin{\frac{\theta}{2}}\right)^{2}$ .

Introducendo

$q = \cos{\frac{\theta}{2}}$ ,

si ottiene

$\dot{q} = - \frac{1}{2} \dot{\theta} \sin{\frac{\theta}{2}}$ .

La grandezza q si può considerare coordinata generalizzata del punto oscillante, e la sua derivata $\dot{q}$ come velocità generalizzata. Allora

$U = 2mga q^{2} \; ; \; K = 8m a^{2} \dot{q}^{2}$ .

L'energia potenziale è una funzione quadratica della coordinata q, e l'energia cinetica è una funzione quadratica della sua derivata (e i coefficienti sono costanti). Da ciò risulta che le oscillazioni del pendolo sono isocrone e armoniche di periodo

$T = 2 \pi \sqrt{\frac{4a}{g}}$ .

Huygens utilizzò la sua scoperta per realizzare orologi a pendolo molto precisi. Per costruire il pendolo cicloidale occorre sospendere il pendolo ad un filo posto fra due archi di cicloide, in modo tale che esso segua il loro profilo facendo percorrere anche al peso attaccato una traiettoria cicloidale.

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