Teorema dei seni

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Un triangolo generico con le comuni notazioni

In trigonometria, il teorema dei seni esprime una relazione di proporzionalità diretta fra le lunghezze dei lati di un triangolo e i seni dei rispettivi angoli opposti.

Si consideri il triangolo generico ABC rappresentato nella figura a lato, in cui gli angoli sono indicati da lettere greche minuscole e i lati opposti agli angoli dalle corrispondenti lettere latine minuscole.

$a=\overline{BC},\alpha=C\hat AB$

$b=\overline{AC},\beta=A\hat BC$

$c=\overline{AB},\gamma=B\hat CA$

Vale quindi

$\frac a{\sin\alpha}=\frac b{\sin\beta}=\frac c{\sin\gamma}=\frac{abc}{2S}=2R$

dove R è il raggio del cerchio circoscritto al triangolo ABC e

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

è l'area del triangolo ricavata dal semiperimetro p grazie alla formula di Erone.

La relazione di proporzionalità viene formulata a volte in questo modo:

$a:b:c=\sin\alpha:\sin\beta:\sin\gamma\,$ .

Indice

1 Applicazioni
2 Generalizzazione alle geometrie non euclidee
- 2.1 Geometria sferica
- 2.2 Geometria iperbolica
3 Generalizzazione allo spazio euclideo
4 Collegamenti esterni

[modifica] Applicazioni

Risoluzione di un triangolo con il teorema dei seni

Il teorema può essere adoperato

per determinare il raggio del cerchio circoscritto:

$R=\frac a{2\sin\alpha}$

per la risoluzione di un triangolo dati un angolo, un lato adiacente all'angolo ed il lato opposto (vedere figura a lato):

$\gamma=\arcsin\frac{c\sin\beta}b$ .

[modifica] Generalizzazione alle geometrie non euclidee

Triangolo sferico: dimensioni ridotte a, b e c; angoli α, β e γ

Per una superficie non euclidea dalla curvatura K, il raggio di curvatura ρ è

$\rho=1/\sqrt{|K|}\,$ .

Si definiscono quindi le dimensioni ridotte del triangolo:

$a=\overline{BC}/\rho\,$ ,

$b=\overline{AC}/\rho\,$ ,

$c=\overline{AB}/\rho\,$ .

Nel caso di un triangolo sferico, a, b e c corrispondono alle misure angolari dei segmenti degli archi grandi [BC], [AC] e [AB] (vedere figura).

[modifica] Geometria sferica

In un triangolo sferico ABC tracciato sulla sfera di centro O e di raggio ρ, il teorema del seno è espresso da

$\frac{\sin a}{\sin\alpha}=\frac{\sin b}{\sin\beta}=\frac{\sin c}{\sin\gamma}=\frac{6 V_{OABC}}{\rho^3\sin a\sin b\sin c}$ ,

dove V_OABC è il volume del tetraedro OABC.

[modifica] Geometria iperbolica

In un triangolo iperbolico, il teorema dei seni si esprime con

$\frac{\sinh a}{\sin\alpha}=\frac{\sinh b}{\sin\beta}=\frac{\sinh c}{\sin\gamma}$ .

[modifica] Generalizzazione allo spazio euclideo

Tetraedro: facce ed angoli diedri

Si consideri un tetraedro A₁A₂A₃A₄ nello spazio euclideo. La figura di lato indica le notazioni di vertici, facce ed angoli del tetraedro:

S_k la faccia opposta al vertice A_k;
s_k la superficie di S_k;
Δ_k il piano su cui giace S_k;
θ_ij l'angolo diedro $\widehat{(\Delta_i, \Delta_j)}$ .

Il seno dell'angolo triedro in corrispondenza del vertice A₁ si definisce nel modo seguente:

$\sin A_1=\frac{\sqrt{1-\cos^2\theta_{23}-\cos^2\theta_{24}-\cos^2\theta_{34}-2\cos\theta_{23}\cos\theta_{24}\cos\theta_{34}}}{\sin\theta_{23}\sin\theta_{24}\sin\theta_{34}}$ ;

E in modo analogo per gli altri angoli triedri.

Vale quindi

$\frac{s_1}{\sin A_1}=\frac{s_2}{\sin A_2}=\frac{s_3}{\sin A_3}=\frac{s_4}{\sin A_4}=\frac{2s_1s_2s_3s_4}{9V}$ ,

dove V è il volume del tetraedro.

[modifica] Collegamenti esterni

(EN) teorema dei seni

Trigonometria
Funzione trigonometrica \| Funzione trigonometrica inversa Seno \| Coseno \| Tangente \| Cotangente \| Secante \| Cosecante Arcoseno \| Arcocoseno \| Arcotangente \| Arcocotangente \| Arcosecante \| Arcocosecante Teorema dei seni \| Teorema del coseno \| Funzioni iperboliche \| Identità trigonometrica

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Categorie: Geometria del triangolo | Trigonometria | Teoremi

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Indice

[modifica] Applicazioni

[modifica] Generalizzazione alle geometrie non euclidee

[modifica] Geometria sferica

[modifica] Geometria iperbolica

[modifica] Generalizzazione allo spazio euclideo

[modifica] Collegamenti esterni

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