Z変換

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関数解析学において、Z変換（ぜっとへんかん、Z-transform）とは、離散群上で定義される、ローラン展開をベースにした関数空間の間の線形作用素。関数変換。

Z変換は離散群上でのラプラス変換とも説明される。なお、Z変換という呼び方は、ラプラス変換のことを「s変換」と呼んでいるようなものであり、定義式中の遅延要素であるzに由来する名前である。

[編集] 定義

列x_nのZ変換は以下の式で定義される

$Z(x_n) = X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x_n z^{-n}$

ここでnは整数でzは複素数である。なお後述の片側Z変換に対してこれを両側Z変換（two-sided Z-transform、bilateral Z-transform）と呼ばれる。

n<0 でx_n=0のような場合は、総和の範囲を 0 〜 ∞ で計算できる：

$Z(x_n) = X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} x_n z^{-n}$

これを元の定義と区別して片側Z変換（single-sided Z-transform、unilateral Z-transform）と呼ぶこともある。工学の分野などでは因果律を想定するので、こちらの式で定義することがある。

なお、Z変換の級数は一般には発散することがある。収束するzの領域（収束領域）を以下のように書ける：

$\mbox{ROC}=\left\{z : \sum_{n=-\infty}^{\infty}x_nz^{-n} < \infty\right\}$

厳密にはこの収束領域内においてのX(z)を、x_nのZ変換と定義する。

Z変換の逆変換である逆Z変換（inverse Z-transform）は次のようになる

$x_n = Z^{-1}(X(z))=\frac{1}{2\pi i}\oint_C X(z)z^{n-1}\,dz$

ここでiは虚数単位で積分路CはX(z)の極を全て含むような閉路である。

なおこの式は留数定理を用いて留数の和として計算することができる。しかし、手計算で計算するときは以下の方法がよく使われる：

X(z)が既に級数展開されている場合、z^-kの係数をx_kの値とすることで簡単に逆変換ができる。例えば、z+2-3z^-1の逆変換は { ..., 0, x_-1=1,x₀=2,x₁=-3, 0, ...} のように係数をならべるだけで得られる。
X(z)を部分分数分解し、各々の部分分数を変換表を用いて逆変換したものの和として逆変換を得る。

いずれにせよ、定義に示した積分計算そのものを直接計算することは稀である。

線形性: Z変換は線型性を持ち、したがって特に重ね合わせの原理を用いて計算できる。したがって任意のx_n,y_nに対して; $Z (a x n + b y n) = a Z (x n) + b Z (y n)$; が成立する。但し、a,bは定数。逆Z変換も同様に線型性を持つ。したがって、与えられた関数を部分分数分解できるとき、各因子が変換表にあるものに合致すれば、その変換が求められる。
シフト性: Z(x_n-k) = z^-kZ(x_n)
Z領域微分: $Z(n x_n) = -z \frac{dZ(x_n)}{dz}$
畳み込み: フーリエ変換のように畳み込み定理が成り立ち、畳み込みはZ変換によって掛け算になる。; Z(x_n * y_n) = Z(x_n) Z(y_n)

Z変換は両側ラプラス変換を離散化したものである。つまり離散化された関数

$f(t)\sum_{n=-\infty}^\infty \delta(t-nT)=\sum_{n=-\infty}^\infty f_n \delta(t-nT)$

のラプラス変換

$\sum_{n=0}^{\infty} f_n \delta(t-nT) e^{-snT}$

に対応する。但し、Tはサンプリング周期であり、e^sTがZ変換におけるzに対応する。

Z変換は離散フーリエ変換(DFT)の拡張である。DFTはZ変換でz=e^iωを代入したものと一致する。言い換えると、複素平面で単位円上のZ変換がDFTであると解釈できる。

元の関数 x(n)	Z変換 X(z)	収束領域
δ(n)	1	複素数全体
u(n)	$\frac{1}{1-z^{-1}}$	$\| z \| > 1$
aⁿu(n)	$\frac{1}{1-a z^{-1}}$	$\| z \| > \| a \|$
n aⁿ u(n)	$\frac{az^{-1} }{ (1-a z^{-1})^2 }$	$\| z \| > \| a \|$
aⁿ u(-n-1)	$\frac{-1}{1-a z^{-1}}$	$\| z \| < \| a \|$
n aⁿ u(-n-1)	$\frac{az^{-1} }{ (1-a z^{-1})^2 }$	$\| z \| < \| a \|$
cos(ω₀n) u(n)	$\frac{ 1-z^{-1} \cos(\omega_0) }{ 1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+ z^{-2} }$	$\| z \| > 1$
sin(ω₀n) u(n)	$\frac{ z^m{-1} \sin(\omega_0) }{ 1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+ z^{-2} }$	$\| z \| > 1$
aⁿ cos(ω₀n)	$\frac{ 1-a z^{-1} \cos( \omega_0) }{ 1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+ a^2 z^{-2} }$	$\| z \| > \| a \|$
aⁿ cos(ω₀n)	$\frac{ az^{-1} \sin(\omega_0) }{ 1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+ a^2 z^{-2} }$	$\| z \| > \| a \|$