Vector (wiskunde)

Een vector (Latijn: drager) is in de wiskunde een element van een vectorruimte en daarmee een weinig specifiek begrip. Vectorruimten zijn echter generalisaties van onze gewone driedimensionale ruimte, waarin punten voorgesteld worden door hun drie coördinaten x, y en z. Zulke punten, opgevat als pijlen van de oorsprong tot het punt (x,y,z) waren de eersten die vector genoemd werden, een term ingevoerd door William Rowan Hamilton in 1837. Zo'n pijl stelt in de meetkunde en de natuurkunde een grootheid voor die zowel grootte als richting heeft, zoals verplaatsing, snelheid, versnelling, kracht, e.d.

Soms spreekt men ook over "gebonden vectoren". Een gebonden vector heeft niet enkel een grootte en een richting, maar ook een aangrijpingspunt. Het aangrijpingspunt is het punt waarin de vector "vertrekt". Vectoren zonder aangrijpingspunt worden in dit verband "vrije vectoren" genoemd. Gebonden vectoren vormen eigenlijk een vectorveld, een afbeelding van een ruimte in een vectorruimte. Aan elk punt van de betrokken ruimte (het aangrijpingspunt) wordt een vector toegevoegd. Deze vector is dus gebonden aan z'n aangrijpingspunt.

[bewerk] Voorstelling van een vector

Om vectoren te onderscheiden van scalaire grootheden, noteert men vectoren wel met een vetgedrukte letter, bijvoorbeeld a of als letter met een pijltje erboven, zoals $\vec{a}$ . Dit is echter slechts een kwestie van notatie en heeft op zichzelf geen enkele betekenis. In deze notatieconventie wordt de grootte van de vector (|a| of $|\vec{a}|$ ) dan aangegeven door een gewone a.

Men tekent een vector als een pijl, beginnend in z'n aangrijpingspunt (bij vrije vectoren is dat de oorsprong).

De vector a wordt dan ook geschreven als $\overrightarrow{PQ}$ . Als de vector a op de tekening een gebonden vector is, is P het aangrijpingspunt van a. De afbeelding stelt een vector in een tweedimensionale ruimte voor. Men kan ook vectoren in ruimtes met andere dimensies beschouwen. Merk op dat men een (vrije) vector op verschillende manieren kan tekenen. Wanneer men op eenzelfde afbeelding verschillende malen dezelfde vector tekent, heeft men verschillende, evenwijdige pijltjes van gelijke lengte die in dezelfde richting wijzen. Twee vectoren zijn gelijk als ze dezelfde grootte en richting hebben. Voor gebonden vectoren komt hier nog de eis bij dat ze hetzelfde aangrijpingspunt moeten hebben. Hierdoor ligt de grafische voorstelling van een gebonden vector volledig vast: men kan niet op één afbeelding twee keer (op een verschillende plaats) dezelfde gebonden vector tekenen. De vectoren a en b op de volgende afbeelding zijn gelijk als het gaat om vrije vectoren, maar verschillend als het gaat om gebonden vectoren, aangezien ze een verschillend aangrijpingspunt hebben.

Een vector in een n-dimensionale ruimte kan, na een keuze van een basis van deze ruimte, gerepresenteerd worden door n componenten. Laten we in wat volgt werken in de ruimte van het tweedimensionale Euclidische vlak. Stel dat we als basis van ons vlak de vectoren u₁ en u₂ hebben (omdat we werken met twee dimensies, hebben we ook twee basisvectoren). Dan kan (per definitie van basis) elke vector a geschreven worden als een lineaire combinatie van u₁ en u₂. Dit wil zeggen dat er getallen a₁ en a₂ bestaan zodat a = a₁u₁+a₂u₂. De vectoren a₁u₁ en a₂u₂ heten de componenten van de vector a en de getallen a₁ en a₂ noemt men de coördinaten van a ten opzichte van de basis {u₁, u₂} De volgorde van a₁ en a₂ is belangrijk. In dit geval zijn er twee componenten omdat we in twee dimensies werken. Indien het duidelijk is over welke basis het gaat, vermeldt men vaak de basis niet. Vaak gebruikt men de standaardbasis {e₁, e₂}: e₁ wijst volgens de X-as en heeft lengte 1, e₂ wijst volgens de Y-as en heeft ook lengte 1. Voor andere dimensies is de definitie analoog. In drie dimensies noteert men de standaardbasis met {e₁, e₂, e₃}. Soms wordt ook de notatie {i, j, k} gebruikt: i wijst volgens de X-as, j volgens de Y-as en k volgens de Z-as, ze hebben alle drie lengte 1. Twee (vrije) vectoren zijn gelijk als en slechts als ze dezelfde componenten hebben. Men schrijft wel (met de a van daarnet): a = (a₁, a₂), of als kolom:

[bewerk] Norm

In een vectorruimte met Euclidische norm wordt de norm (de 'lengte') van een n-dimensionale vector v=(v₁, v₂, ..., v_n) gegeven door:

$|\bold{v}|=\sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \ldots + v_n^2}$ .

[bewerk] Bewerkingen met vectoren

Men kan verschillende bewerkingen uitvoeren met vectoren.

[bewerk] Optellen van vectoren

Het optellen van vectoren kan men doen aan de hand van een tekening:

Om $\vec{a}+\vec{b}$ te construeren, tekent men $\vec{a}$ en $\vec{b}$ zo, dat de pijltjes die deze vectoren voorstellen in hetzelfde punt vertrekken. Daarna maakt men een parallellogram, zoals op de tekening. Wanneer men dan een pijltje tekent dat begint in het zelfde punt waar $\vec{a}$ en $\vec{b}$ beginnen, en dat gaat naar de overliggende hoek van het parallellogram, bekomt men een voorstelling van $\vec{a}+\vec{b}$ .

Er bestaat ook een andere manier om $\vec{a}+\vec{b}$ te construeren (kop-staartmethode): als het pijltje dat $\vec{a}$ voorstelt, gaat van P naar Q, teken je $\vec{b}$ zo dat het pijltje dat $\vec{b}$ voorstelt, begint in Q. Als dan het pijltje dat $\vec{b}$ voorstelt, stopt in R, is het pijltje van P naar R een voorstelling van de vector $\vec{a}+\vec{b}$ . De volgende afbeelding illustreert dit:

Deze tekening illustreert meteen ook de gelijkheid van Chasles-Möbius:

$\overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{QR} = \overrightarrow{PR}$

Ook wanneer het niet mogelijk is om vectoren te tekenen, kun je een vectorsom berekenen. Stel dat v=(v₁, v₂) en w = (w₁, w₂). Dan zal v+w = (v₁ + w₁, v₂ + w₂).

Wanneer men v en w beschouwt als kolommatrices, kan men gewoon deze matrices optellen om v + w te bekomen.

[bewerk] Verschil van vectoren

b-a is hetzelfde als b + (-a), waarbij -a de vector is met dezelfde grootte als a, maar met tegengestelde richting (zie het voorbeeld van de scalaire vermenigvuldiging).

[bewerk] Vermenigvuldiging van een vector met een scalair

Scalaire vermenigvuldiging mag niet verward worden met het scalair product (zie verder).

Om het verschil tussen getallen en vector aan te duiden, noemt men een getal ook wel een "scalair": de componenten van een vector zijn scalairen. Wanneer men een vector a vermenigvuldigt met een scalair k, krijgt men een nieuwe vector ka. De lengte van ka is |k||a|. De richting blijft behouden als k > 0, en wordt omgekeerd als k < 0. De volgende afbeelding illustreert dit:

Hierbij is -a gelijk aan (-1)a. Als a=(a₁, a₂, ..., a_n) ten opzichte van een willekeurige basis, dan zal, ten opzichte van diezelfde basis, ka=(ka₁, ka₂, ..., ka_n).

[bewerk] Inproduct van vectoren

Het inproduct, ook wel inwendig product of scalair product genoemd, van twee vectoren a en b zegt iets over de hoek tussen de vectoren. Er geldt namelijk:

$\bold{a}\cdot\bold{b} = |\bold{a}||\bold{b}|\cos{\theta}$ ,

waarin $θ$ de hoek tussen a en b is. Soms wordt deze formule als definitie genomen en moet het begrip hoek al bekend zijn. Ook wordt als definitie wel gehanteerd:

$\bold{a}\cdot \bold{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + ... +a_nb_n$ ,

waarin a=(a₁, a₂, ..., a_n) en b=(b₁, b₂, ..., b_n).

De hoek $θ$ tussen de vectoren a en b is dan:

$\theta = \arccos ( \frac {\bold{a}\cdot\bold{b}} {|\bold{a}||\bold{b}|})$ ,

Als twee vectoren loodrecht op elkaar staan, is het inwendig product gelijk aan 0.

[bewerk] Vectorproduct

Voor twee vectoren $\vec{a}$ en $\vec{b}$ in de gewone drie-dimensionale euclidische vectorruimte bestaat ook het vectorproduct ook kruisproduct, vectorieel product, uitproduct of uitwendig product genoemd) $\vec{a}\times\vec{b}$ . Het vectorproduct is een vector loodrecht op beide vectoren met een lengte gelijk aan de oppervlakte van het parallellogram gevormd door de beide vectoren en de richting volgens de kurkentrekkerregel (ook rechterhandregel genoemd).

Uitgedrukt in de coördinaten van $\vec{a}$ en $\vec{b}$ luidt het vectorproduct:

$\vec{a}\times\vec{b}=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)$ .

[bewerk] Vectoren in de natuurkunde

In de mechanica wordt een kracht vaak voorgesteld door een vector: de grootte van de vector is de grootte van de kracht, en de richting van de vector is de richting waarin de kracht werkt.

Men kan een onderscheid maken tussen "scalaire grootheden" en "vectoriële grootheden". Het verschil is dat een scalaire grootheid geen richting heeft, en een vectoriële grootheid wel. Voorbeelden van scalaire grootheden uit de natuurkunde zijn: massa, volume en temperatuur.

Voorbeelden van vectoriële grootheden zijn:

kracht
verplaatsing, snelheid, impuls en versnelling
impulsmoment
elektrische stroom (vaak wordt echter hiervan alleen de grootte aangegeven).

In de natuurkunde bestaan ook vectorvelden. Dit zijn velden in de ruimte, waar in elk punt een vector staat die een verschillende grootte, maar ook een verschillende richting kan hebben. Voorbeelden zijn:

[bewerk] Vectoren in de wiskunde

In de context van de lineaire algebra is een vector een element van een vectorruimte. In deze context hebben vectoren niet steeds een grootte en een richting. Voorbeelden van vectoren zonder grootte en richting zijn vectoren uit een vectorruimte over een eindig lichaam (Ned) / eindig veld (Be) of over het lichaam (Nederlandse term; in België: veld) van de complexe getallen. Het is ook moeilijk om van deze vectoren een tekening te maken. Merk op dat vectoren zoals ze gebruikt worden in de natuurkunde, ook elementen zijn van een vectorruimte en dus ook vectoren zijn in de context van de lineaire algebra.

[bewerk] Zie ook

Categorieën: Meetkunde | Lineaire algebra

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.