Vectorruimte
| Algebraïsche structuren |
|---|
| Monoïde |
| Moduul Vectorruimte |
| Categorie |
Een vectorruimte is een centraal begrip in de lineaire algebra. Omdat veel wiskundige objecten vectorruimten zijn, kent de studie van de vectorruimten veel toepassingen, zoals in de kwantumfysica.
Een vectorruimte V over een lichaam (Nederlandse term; in België wordt dit een 'veld' genoemd) K is een verzameling van elementen aangeduid als vectoren, waarop twee bewerkingen zijn gedefinieerd: een optelling (die niet noodzakelijk overeenkomt met de optelling van "gewone" getallen, waarmee we vertrouwd zijn) van twee vectoren, en een scalaire vermenigvuldiging van een scalair (een element uit K) met een vector. Deze bewerkingen moeten voldoen aan een aantal voorwaarden. Als we de optelling noteren met "+", de scalaire vermenigvuldiging met "*", drie (al dan niet verschillende) willekeurige vectoren uit V met u, v en w en twee willekeurige scalairen uit K met a en b, zijn deze voorwaarden:
- v + w is weer een vector uit V
V is gesloten onder de optelling van vectoren - u + (v + w) = (u + v) + w
De optelling van vectoren is associatief. - Er bestaat een element 0 uit V zodat voor alle vectoren v uit V geldt dat 0 + v = v = v + 0.
0 wordt het neutraal element genoemd ("het neutraal element" omdat men kan aantonen dat het uniek is). - Voor alle vectoren v bestaat er een vector -v zodat v + (-v) = 0
-v noemt men het inverse element van v. - v + w = w + v
De optelling van vectoren is commutatief. - a * v is weer een vector uit V.
V is gesloten onder de scalaire vermenigvuldiging. - a * (b * v) = (ab) * v
De scalaire vermenigvuldiging is assosiatief. - Als 1 het eenheidselement is van K, dan zal 1 * v = v.
Het eenheidselement uit K is neutraal element voor de scalaire vermenigvuldiging. - a * (v + w) = a * v + a * w
Distributiviteit van de scalaire vermenigvuldiging ten opzichte van de optelling van vectoren. - (a + b) * v = a * v + b * v
Distributiviteit van de scalaire vermenigvuldiging ten opzichte van de optelling van scalairen. Merk op dat met "a + b" de optelling van twee scalairen in K wordt bedoeld. Dit is niet dezelfde optelling als de optelling die bij "v + w" gebruikt wordt om in V twee vectoren "op te tellen".
De eigenschappen 1 t/m 5 impliceren dat V een abelse groep is onder de optelling. Door K te vervangen door een willekeurige ring R, krijgen we de definitie van een R-moduul; een vectorruimte is dus eigenlijk een speciaal soort moduul.
Veel gebruikte vectorruimten zijn die waarin K gelijk is aan 
(de reële getallen) of 
(de complexe getallen); V heet dan een reële respectievelijk complexe vectorruimte. Een vectorruimte waarop een norm gedefinieerd is heet een genormeerde vectorruimte.
Men kan (met behulp van het keuzeaxioma) aantonen dat elke vectorruimte een basis heeft. Intuïtief beschouwd is een basis een zo klein mogelijke verzameling van vectoren waarmee je de hele vectorruimte kan opbouwen (door het nemen van scalaire vermenigvuldigingen en vectorsommen). De cardinaliteit van de basis wordt de dimensie van de vectorruimte genoemd. Intuïtief beschouwd is de dimensie van een vectorruimte het aantal richtingen waarin de vectoren kunnen variëren.
[bewerk] Uitbreidingen
Een moduul is een algebraïsche structuur die erg lijkt op een vectorruimte. Een moduul is echter gedefinieerd over een ring, in plaats van over een lichaam (Ned. term; Belgisch: veld). Bij een moduul eist men dus niet dat K een lichaam (Ned. term) is, maar dat K een ring is. Er zijn dus "meer" modulen dan vectorruimten en niet alle eigenschappen van vectorruimten gelden ook voor modulen.
