Z-transformatie
De Z-transformatie is een wiskundige techniek die wordt gebruikt voor het oplossen van differentievergelijkingen. Dit zijn vergelijkingen die met name aan de orde zijn bij tijd-discrete processen. De Z-transformatie is het discrete analogon van de Laplace-transformatie voor continue functies.
Inhoud |
[bewerk] Definitie
Zij 
een rij reële getallen. De Z-getransformeerde van de rij 
is de Laurentreeks in de formele (complexe) variabele z:
.
Deze vorm wordt wel de eenzijdige Z-transformatie genoemd ter onderscheiding van de tweezijdige vorm, gedefinieerd voor rijen 
zonder begin, door:
.
[bewerk] Notatie
De Z-getransformeerde van de rij 
wordt meestal genoteerd als:
,
wat strikt genomen niet correct is, maar wat het mogelijk maakt de algemene term van de reeks in de notatie te gebruiken. Afhankelijk van de vorm waarin de reeks wordt weergegeven, zien we dan bijvoorbeeld:
![X(z) =\mathcal{Z}\left\{x[n]\right\}(z)](../../../math/3/4/c/34cb952e67a24be3bc2a64f148c97110.png)
,
of:
.
[bewerk] Voorbeeld
We bepalen de Z-getransformeerde van de meetkundige reeks:
, voor n=0,1,2,...
De Z-getransformeerde van deze reeks is:
.
De getransformeerde A(z) is enkel convergent als |z|>|r| (deze voorwaarde is o.a. ook noodzakelijk om de gesloten vorm te mogen afleiden).
[bewerk] Rekenregels
- Lineariteit: als
dan is
- verschuiving: als
dan is
- Convolutie. De Z-getransformeerde van een convolutie van twee signalen is het product van de Z-getransformeerden van die twee signalen:
- Differentiëren.
