Brzeg (matematyka)
Z Wikipedii
Brzeg zbioru (figury, bryły) F w geometrii lub topologii oznacza zbiór wszystkich punktów przestrzeni, których dowolne otoczenie zawiera zarówno punkty należące do zbioru F, jak i nie należące do tego zbioru. Brzeg zbioru F zazwyczaj oznaczamy 
Punkty należące do brzegu zbioru nazywamy punktami brzegowymi zbioru.
Spis treści |
[edytuj] Przykłady
Niech R oznacza zbiór liczb rzeczywistych z naturalną topologią. Wówczas:
![\mbox{bd}\,(0,5) = \mbox{bd}\,[0,5) = \mbox{bd}\,(0,5] = \{0,5\}](../../../../math/3/1/6/31623ce8e7c29ae1823adc6ce728620f.png)
,
,
,
,
.
Ostatnie trzy przykłady pokazują, że brzeg zbioru może być zbiorem "większym" niż sam zbiór.
[edytuj] Własności
- Brzeg zbioru jest zbiorem domkniętym.B.
- Brzeg zbioru i brzeg jego dopełnienia są równe:
. - Zbiór jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera swój brzeg.
- Zbiór jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy nie ma punktów wspólnych ze swoim brzegiem.
- Domknięcie zbioru jest równe sumie zbioru i jego brzegu.
- Brzeg zbioru jest zbiorem pustym wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jest jednocześnie otwarty i domknięty.
- W przestrzeni euklidesowej każdy zbiór domknięty jest brzegiem pewnego zbioru.
Poniższe zależności pozwalają zdefiniować brzeg zbioru w inny sposób:
.
oraz 
oznaczają tutaj operacje domknięcia i wnętrza.
Zdefiniowane wyżej pojęcie brzegu zbioru w istotny sposób zależy od topologii przestrzeni w jakiej dany zbiór się znajduje. Jako przykład niech posłuży koło
W naturalnej topologii przestrzeni 
brzeg koła tworzy okrąg K2:
Zanurzenie K w 
powoduje, iż koło
jest swoim własnym brzegiem – 
.
natomiast w topologii zrelatywizowanej do K jego brzeg jest zbiorem pustym.
[edytuj] Złożenia funkcji brzegu
Dla dowolnego zbioru S mamy 
, przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy brzeg zbioru S nie zawiera żadnych punktów wewnętrznych, tj. jest zbiorem brzegowym. Ma to miejsce na przykład wtedy, gdy S jest zbiorem otwartym lub domkniętym. Z kolei, ponieważ brzeg jest zbiorem domkniętym, mamy 
dla dowolnego zbioru S.
Omawiane tu pojęcie brzegu różni się od tego, z którym spotykamy się w teorii rozmaitości lub topologii algebraicznej podczas badania kompleksów symplicjalnych.
