Funkcja wykładnicza

Z Wikipedii

Funkcje matematyczne

dziedzina • obraz • przeciwobraz

Funkcje elementarne

Funkcje algebraiczne:
wymierna • wielomian
stała • liniowa • kwadratowa
homograficzna

Funkcje przestępne:
trygonometryczne • cyklometryczne
hiperboliczne • area
wykładnicza • logarytmiczna
potęgowa

Funkcje specjalne

błędu • Γ • Β (beta) • η • W Lamberta Bessela • ζ

Funkcje teorioliczbowe

Möbiusa • φ • π • λ

Własności

Przebieg zmienności:
parzystość • monotoniczność ograniczoność • okresowość różnowartościowość • suriektywność • wzajemna jednoznaczność

ciągłość • różniczkowalność
całkowalność

Funkcja wykładnicza – funkcja postaci:

$f(x)=a^x\quad$ gdzie $a>0\quad$ .

Niektórzy autorzy wymagają, aby podstawa $a$ funkcji wykładniczej była różna od 1.

[edytuj] Własności

Dla $a > 1$ funkcja wykładnicza o podstawie $a$ jest rosnąca, dla $0<a<1\quad$ malejąca. Jeśli $\quad a=1$ to fukcja $f (x) = a x$ jest stała.

Pochodna funkcji wykładniczej to:

$(a^x)'=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{a^{x+\Delta x}-a^x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}a^x\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}=a^x \lim_{\Delta x\to 0}\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}=a^x \ln a$

(patrz dowód w logarytm naturalny)

Czyli w szczególności dla $a=e\quad$ mamy

$(e^x)'=e^x\quad$

Funkcja wykładnicza o podstawie $a > 1$ jest (przy argumencie dążącym do $+\infty$ ) asymptotycznie większa niż funkcja wielomianowa, mniejsza zaś niż silnia.

[edytuj] Funkcja eksponens

Szczególnym przypadkiem funkcji wykładniczej jest tzw. eksponens czyli funkcja wykładnicza o podstawie równej $e$ (czyli podstawie logarytmu naturalnego). Inne oznaczenie: $exp(x)$ .

Cechą funkcji $f(x)=e^x\quad$ jest to, że jej pochodna jest równa jej samej. Eksponens jako funkcję analityczną na mocy twierdzenia Taylora można rozwinąć w szereg potęgowy: $\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$ .