Baza (topologia)
Z Wikipedii
Baza przestrzeni topologicznej to taka rodzina zbiorów otwartych tej przestrzeni, że każdy zbiór otwarty przestrzeni jest sumą pewnej podrodziny zbiorów bazy.
Ściśle biorąc, podane pojęcie bazy definiuje bazę otwartą – lecz zwykle o takich właśnie bazach się mówi. Pojęcie bazy domkniętej określone jest w dalszej części.
Spis treści |
[edytuj] Przykłady
Kilka przykładów przybliży to pojęcie:
- rodzina wszystkich przedziałów otwartych na prostej rzeczywistej jest bazą w naturalnej topologii prostej (tj. topologii wyznaczonej przez metrykę)
- rodzina wszystkich skończonych przedziałów otwartych na osi liczbowej jest również bazą wyżej wspomnianej przestrzeni
- rodzina wszystkich kul otwartych w dowolnej przestrzeni metrycznej jest bazą w naturalnej (tj. metrycznej) topologii tej przestrzeni
- rodzina wszystkich kwadratów otwartych na płaszczyźnie jest bazą płaszczyzny w topologii euklidesowej
[edytuj] Własności bazy przestrzeni
Podstawowe własności bazy:
- jeżeli A i B są zbiorami bazy, to w zbiorze A∩B zawarty jest pewien element bazy
- dla każdego punktu przestrzeni, dowolne otoczenie punktu zawiera element bazy
- odwzorowanie f : X → Y jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy przeciwobraz dowolnego elementu bazy przestrzeni Y zawiera element bazy przestrzeni X
- jeżeli B1, B2, ..., Bn są bazami odpowiednio przestrzeni X1, X2, ..., Xn, to B1×B2×...×Bn jest bazą przestrzeni X1×X2×...×Xn.
[edytuj] Ciężar przestrzeni
Ciężarem przestrzeni nazywamy najmniejszą liczbę kardynalną m taką, że istnieje w tej przestrzeni baza mocy m. Na przykład, ciężar przestrzeni dyskretnej jest równy mocy zbioru jej elementów.
[edytuj] Określanie topologii za pomocą bazy
Aby w danym zbiorze określić topologię, wystarczy wyróżnić w nim rodzinę B podzbiorów spełniającą trzy warunki:
- B zawiera zbiór pusty
- suma zbiorów rodziny B jest całą przestrzenią
- część wspólna dowolnej skończonej liczby zbiorów z B należy do B.
Za zbiory otwarte należy wówczas uważać dowolne sumy elementów z B oraz ich skończone części wspólne. Jest to bardzo ogólna i wygodna metoda określania topologii.
Na przykład: w przestrzeni R2 niech B będzie rodziną półpłaszczyzn bez brzegu wyznaczonych przez półproste o równaniach x = c, gdzie c jest liczbą wymierną. Dołączając do B zbiór pust, otrzymujemy rodzinę spełniającą wyżej wymienione warunki. Określa ona zatem pewną topologię w R2 – nie jest to jednak topologia euklidesowa.
[edytuj] Baza domknięta
Analogicznie do bazy otwartej można określić bazę domkniętą przestrzeni topologicznej. Jest to taka rodzina zbiorów, że każdy zbiór domknięty jest częścią wspólną jej pewnej podrodziny.
