Funkcja różniczkowalna

Z Wikipedii

Funkcja różniczkowalna – funkcja, która ma pochodną w każdym punkcie swej dziedziny.

Oznacza to, że funkcja pochodna danej funkcji określona jest w tej samej co funkcja dziedzinie.

Spis treści 1 Funkcja n-krotnie różniczkowalna 2 Funkcja klasy C(n) 2.1 Przykłady 3 Zobacz też:

[edytuj] Funkcja n-krotnie różniczkowalna

Jeżeli funkcja f ma n pochodnych w przedziale (a,b) to nazywamy ją n-krotnie różniczkowalną w przedziale (a,b).

[edytuj] Funkcja klasy C⁽ⁿ⁾

Jeżeli funkcja f ma w przedziale (a,b) n pochodnych i n-ta pochodna f ⁽ⁿ⁾ jest funkcją ciągłą w (a,b) to funkcję f nazywamy funkcją klasy C⁽ⁿ⁾( (a,b) ). Przez funkcję klasy C ⁽⁰⁾ rozumiemy funkcję ciągłą.

Różniczkowalność jest silną własnością, jednakże czasem wymagamy, by badane funkcje spełniały dodatkowe warunki, np. by były różniczkowalne w sposób ciągły.

Uwaga ta dotyczy funkcji zmiennej rzeczywistej – w przypadku funkcji zmiennej zespolonej różniczkowalność pociąga za sobą automatycznie analityczność.

Ważną klasę funkcji stanowi (C-nieskończoność) czyli różniczkowalna dowolną liczbę razy. Klasę nazywamy też klasą funkcji gładkich.

[edytuj] Przykłady

• Wielomiany, funkcje wykładnicze, sinus i cosinus, sinus, cosinus i tangens hiperboliczny, są funkcjami klasy
• funkcja f(x)=|x| jest klasy ale nie
• funkcja dana wzorem:

jest różniczkowalna na całej prostej rzeczywistej ale wobec nieciągłości pochodnej w punkcie 0 jest tylko klasy

• funkcja dana wzorem:

jest klasy ale nie

[edytuj] Zobacz też:

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki