Jedynka trygonometryczna

Z Wikipedii

Jedynka trygonometryczna to tożsamość trygonometryczna postaci:

sin 2 x + cos 2 x = 1

Jest ona prawdziwa dla każdej wartości kąta $x \in R$

[edytuj] Dowód

Sposób 1.:

Niech $P=(x,y),\, O=(0,0),\, X=(x,0),\, \angle{POX}=\alpha,\, |OP|=r.$

Zauważmy, że: $|\angle{PXO}|=\frac{\pi}{2}$ , więc trójkąt POX jest trójkątem prostokątnym o przeciwprostokątnej r.

Zatem na mocy twierdzenia Pitagorasa:

$r 2 = | x | 2 + | y | 2$

$r 2 = x 2 + y 2$

$1=\left(\frac{x}{r}\right)^{2}+\left(\frac{y}{r}\right)^{2}$

Z definicji funkcji trygonometrycznych wyrażenie $\left(\frac{x}{r}\right)^{2}+\left(\frac{y}{r}\right)^{2}$ jest równe $sin 2 α + cos 2 α$ . Zatem

$s i n 2 α + c o s 2 α = 1$ , c.b.d.o.

Zauważmy, że to rozumowanie można przeprowadzić również w drugą stronę, co oznacza, że wzór jedynkowy jest równoważny twierdzeniu Pitagorasa. Stąd jedna z jego nazw: postać trygonometryczna twierdzenia Pitagorasa.

Sposób 2.:

Jak wiadomo:

$\sin{x}=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$ oraz $\cos{x}=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$ .

Zatem $\sin^{2}{x}+\cos^{2}{x}=\left(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\right)^{2}+\left(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)^{2}=1$ , c.b.d.o.

Stąd wynika, że jedynka trygononometryczna jest słuszna także dla liczb zespolonych.

[edytuj] Zobacz też:

Źródło: "http://pl.wikipedia.org../../../j/e/d/Jedynka_trygonometryczna.html"

Kategoria: Trygonometria

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

Jedynka trygonometryczna

Z Wikipedii

[edytuj] Dowód

[edytuj] Zobacz też:

Views

nawigacja

techniczne

zmiany

Szukaj