Podprzestrzeń liniowa

Z Wikipedii

Podprzestrzeń liniowa to niepusty podzbiór przestrzeni liniowej, który sam jest przestrzenią liniową.

Spis treści

1 Definicja
2 Powłoka liniowa
3 Działania na podprzestrzeniach
4 Własności
5 Zobacz też

[edytuj] Definicja

Niepusty podzbiór U przestrzeni liniowej V nad ciałem K nazywamy podprzestrzenią liniową przestrzeni V jeżeli spełnia poniższe warunki:

dla dowolnego α z K i dowolnego u z U wektor αu należy do U
dla dowolnych u, v z U wektor u + v należy do U

[edytuj] Uwaga

Podprzestrzeń ma tę własność, że dowolna kombinacja liniowa jej wektorów znów jest wektorem, który do niej należy. Mówimy, że podprzestrzeń to zbiór zamknięty ze względu na kombinacje liniowe.

[edytuj] Przykłady

Każda przestrzeń liniowa jest swoją podprzestrzenią.
Zbiór zawierający wyłącznie wektor zerowy danej przestrzeni jest podprzestrzenią liniową.
W przestrzeni R² złożonej z wszystkich uporządkowanych par liczb rzeczywistych wyróżnimy podzbiór złożony z par postaci (x, 3x). Jest on podprzestrzenią R². Geometrycznie podzbiór ten przedstawia prostą przechodzącą przez początek układu współrzędnych.
Analogicznie, w przestrzeni R³ złożonej z wszystkich uporządkowanych trójek liczb rzeczywistych wyróżnimy podzbiór złożony z trójek postaci (x, 3x, z). Jest on podprzestrzenią R³. Geometrycznie podzbiór ten przedstawia płaszczyznę przechodzącą przez początek układu współrzędnych.
W zbiorze [0, 1]^R wszystkich funkcji określonych na przedziale [0, 1] wyróżnimy podzbiór B[0, 1] funkcji ograniczonych. Jest to podprzestrzeń przestrzeni [0, 1]^R.

[edytuj] Wymiar i kowymiar podprzestrzeni

Wymiarem podprzestrzeni nazywamy jej wymiar jako przestrzeni liniowej. Podprzestrzeń z przykładu 3 ma wymiar 1, a ta z przykładu 4 ma wymiar 2.

Wymiar dowolnej podprzestrzeni nigdy nie przewyższa wymiaru całej przestrzeni: jeżeli W jest podprzestrzenią V, to dim(W) ≤ dim(V).

Jeżeli V i W są podprzestrzeniami przestrzeni X takimi, że $V \oplus W = X$ , gdzie $\oplus$ oznacza sumę prostą podprzestrzeni, to wymiar przestrzeni W nazywamy kowymiarem przestrzeni V i oznaczamy: dim(W)=codim(V).

Zachodzą następujące twierdzenia:

Dla dowolnych podprzestrzeni V i W przestrzeni X zachodzi: $\dim(V+W) + \dim(V\cap W) = \dim S + \dim T$ .
Stąd wynika, że jeśli $V \oplus W = X$ , to dim(X) = dim(W) + dim(V).
Jeżeli W jest podprzestrzenią X, to codim(W) = dim(X/W), gdzie X/W oznacza przestrzeń ilorazową.
Jeżeli W jest podprzestrzenią przestrzeni X, to X=W gdy codim(W)=0.
Jeżeli W jest podprzestrzenią skończeniewymiarowej przestrzeni X i dim(W) = dim(X), to W=X.

[edytuj] Powłoka liniowa

Dla danego zbioru A wektorów przestrzeni liniowej V istnieje zawsze najmniejsza podprzestrzeń liniowa zawierająca zbiór A – jest ona zbiorem wszystkich kombinacji liniowych wektorów zbioru A. Nazywamy ją powłoką liniową (inna nazwa: domknięcie liniowe) zbioru A lub też podprzestrzenią rozpiętą (lub: generowaną) przez zbiór A i oznaczamy symbolem lin(A) lub span(A).

Na przykład, w przestrzeni R² podprzestrzenią generowaną przez zbiór {(1, 3), (2, 6), (–3, –9)} jest podprzestrzeń opisana w przykładzie 3.

Oczywiście, każda podprzestrzeń jest równa swojej powłoce liniowej:

lin(U) = U,

[edytuj] Działania na podprzestrzeniach

W zbiorze podprzestrzeni przestrzeni wektorowej X można określić działanie wewnętrzne (+) zwane sumą algebraiczną podprzestrzeni: V+W={x+y : x∈V ∧ y∈W}.

Jeżeli V+W=X oraz V∩W={0}, to mówimy, że X jest sumą prostą podprzestrzeni V i W i oznaczamy: $V \oplus W = X$ .

[edytuj] Własności

Każda podrzestrzeń liniowa zawiera wektor zerowy.
Część wspólna dowolnej liczby podprzestrzeni liniowych jest znów podprzestrzenią liniową.
Suma mnogościowa dwóch podprzestrzeni liniowych jest podprzestrzenią liniową wtedy i tylko wtedy, gdy jedna z sumowanych przestrzeni zawiera się w drugiej.