Przestrzeń Banacha

Z Wikipedii

Przestrzeń Banacha to przestrzeń wektorowa z normą zupełną (tzn. przestrzeń metryczna z metryką generowaną przez określoną w niej normę jest zupełna).

Nazwa wywodzi się od Stefana Banacha, który jako jeden z pierwszych badał tego typu przestrzenie i podał zasadnicze twierdzenia analizy funkcjonalnej, w której przestrzenie Banacha są podstawowym pojęciem.

Spis treści

1 Przykłady
2 Operatory liniowe w przestrzeniach Banacha
3 Różniczkowanie odwzorowań przestrzeni Banacha
4 Przestrzeń dualna
5 Literatura
6 Zobacz też

[edytuj] Przykłady

W dalszym ciągu $K$ oznaczać będzie ciało liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$ lub zespolonych $\mathbb{C}$ .

Każde z tych ciał traktowane jako przestrzeń liniowa nad samym sobą jest przestrzenią Banacha z normą wartość bezwzględna. Jest to jeden z podstawowych faktów klasycznej analizy matematycznej.
Przestrzeń $K n$ złożona z uporządkowanych $n$ -ek $x = (x 1,..., x n)$ skalarów z normą określoną wzorem $\|x\| = \sqrt{\sum_{i=1}^n|x_i|^2}$ jest przestrzenią Banacha.
Ta sama przestrzeń z normą określoną wzorem $\|x\| = \sup_{1<i<n} |x_i|$ jest przestrzenią Banacha. W skończenie wymiarowej przestrzeni Banacha. wszystkie normy określają tę samą topologię.
Przestrzeń $C[a, b]$ wszystkich funkcji ciągłych na przedziale domkniętym $[a, b]$ o wartościach w $K$ z normą określoną jako $\|f\| = \sup \{|f(x)|: x \in [a, b]\}$ jest przestrzenią Banacha. Przestrzeń ta jest jednocześnie przykładem algebry Banacha.
Dla $p \in \mathbb N_2$ naturalnego rozważmy przestrzeń $l p$ wszystkich ciągów nieskończonych $(x 1, x 2, x 3,...)$ o wyrazach z $K$ takich, że szereg liczbowy

∑	\| x_i \| ^p
i

jest zbieżny. Jeśli określić normę ciągu jako pierwiastek $p$ -tego stopnia z powyższej sumy, to znów otrzymamy przestrzeń Banacha.

Dla $\mathbb N \ni p > 1$ rozważmy przestrzeń $V$ wszystkich funkcji $f\colon [a, b] \longrightarrow K$ takich, że funkcja $| f p |$ jest całkowalna w sensie Lebesgue'a. Jeśli rozważyć podprzestrzeń $U$ tej przestrzeni, złożoną z tych funkcji, dla których owa całka jest równa zeru, to przestrzeń ilorazowa $V / U$ oznaczana $L p [a, b]$ jest przestrzenią Banacha. Przestrzeń tę zwiemy przestrzenią funkcji całkowalnych w $p$ -tej potędze.

Jeżeli $U$ jest domkniętą podprzestrzenią liniową przestrzeni Banacha $V$ , to $U$ jest przestrzenią Banacha. Również przestrzeń ilorazowa $V / U$ jest przestrzenią Banacha.

Każda przestrzeń Hilberta jest przestrzenią Banacha.

[edytuj] Operatory liniowe w przestrzeniach Banacha

Jeżeli $U$ i $V$ są przestrzeniami Banacha nad tym samym ciałem, to w przestrzeni $L (U; V)$ wszystkich ciągłych przekształceń liniowych z $U$ do $V$ można określić normę: $\|F\| = \sup \{ \|F(x)\|_V: x \in U, \|x\|_U < 1\}$ , która czyni z $L (U; V)$ przestrzeń Banacha.

Przestrzeń $L (V) = L (V; V)$ z mnożeniem przekształceń zdefiniowanym jako zwykłe złożenie funkcji jest unitarną algebrą Banacha.

[edytuj] Różniczkowanie odwzorowań przestrzeni Banacha

Jeżeli $f\colon U \longrightarrow V$ jest odwzorowaniem z jednej przestrzeni Banacha do drugiej, to uogólniając klasyczne podejście do pochodnej funkcji, można określić pochodną tego odwzorowania.

Powiemy, że $f$ jest różniczkowalne w punkcie $x \in U$ , jeżeli istnieje ciągłe przekształcenie liniowe $F: U \to V$ takie, że

$\lim_{h \to 0} {\|f(x + h) - f(x) - F(h)\| \over \|h\|} = 0$ .

Odwzorowanie $F$ nazywamy pochodną $f$ w punkcie $x$ i oznaczamy standardowo $f'(x)$ lub $D f (x)$ .

Jeżeli $f$ jest różniczkowalne w każdym punkcie $x \in U$ , to $f^{\prime}\colon U \longrightarrow L(U; V)$ znów jest odwzorowaniem między p. Banacha, nazywanym pochodną $f$ i jako takie znów może mieć swoją pochodną. Konstrukcję tę można kontynuować – otrzymuje się wtedy pochodne wyższych rzędów $f$ . $n$ -tą pochodną $f$ w punkcie $x$ można utożsamić z odwzorowaniem wieloliniowym z $U n$ do $V$ .

Tak określone różniczkowanie w przestrzeni Banacha zachowuje podstawowe własności zwykłego różniczkowania, włącznie z regułą różniczkowania funkcji złożonej.

[edytuj] Przestrzeń dualna

Jeżeli $V$ jest przestrzenią Banacha nad ciałem $K$ , to przestrzeń $L (V, K)$ funkcjonałów liniowych ciągłych jest również przestrzenią Banacha. Przestrzeń tę oznaczamy $V *$ i nazywamy przestrzenią dualną do $V$ – pozwala ona zdefiniować na $V$ tak zwaną słabą topologię.

Przestrzeń $V$ można w naturalny sposób utożsamić z podprzestrzenią przestrzeni $V * *$ (dualnej do dualnej). Wystarczy każdemu wektorowi $v \in V$ przypisać funkcjonał $\phi_v: V^* \to K$ określony równością $φ v (x *) = x * (v)$ .