Przestrzeń liniowa
Z Wikipedii
Przestrzeń liniowa (lub też wektorowa) nad ciałem K to struktura algebraiczna (V, K,⊕,⊗) , w której:
- (V, ⊕) jest grupą abelową
- (K, ⊕, ⊗) jest ciałem
oraz spełnione są następujące aksjomaty zgodności:
- ∀ α, β ∈ K . ∀ v ∈ V . ((α + β) ⊗ v = (α ⊗ v) ⊕ (β ⊗ v))
- ∀ α, β ∈ K . ∀ v ∈ V . ((α * β) ⊗ v = α ⊗ (β ⊗ v))
- ∀ α ∈ K . ∀ u, v ∈ V . (α ⊗ (u ⊕ v) = (α ⊗ u) ⊕ (α ⊗ v))
- ∀ v ∈ V . (1 ⊗ v = v)
Spis treści |
[edytuj] Ogólne
Elementy zbioru V nazywamy wektorami, a elementy zbioru K – skalarami. Działanie ⊕ nazywamy dodawaniem wektorów, a ⊗ mnożeniem wektora przez skalar (mimo odwrotnej kolejności). 1 oznacza element neutralny mnożenia · w ciele K.
To, że V jest grupą abelową oznacza po prostu, że działanie ⊕ jest przemienne.
Badaniem przestrzeni liniowych w ogólności zajmuje się algebra liniowa.
W zastosowaniach szczególnie ważne są przestrzenie liniowe nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych zwane odpowiednio rzeczywistymi lub zespolonymi przestrzeniami liniowymi.
[edytuj] Baza i współrzędne wektora
Baza przestrzeni liniowej to taki zbiór wektorów (liniowo niezależnych), że każdy wektor przestrzeni można zapisać jednoznacznie w postaci kombinacji liniowej wektorów bazy.
Dla danej bazy i danego wektora współczynniki tej kombinacji liniowej, która przedstawia wektor' nazywamy współrzędnymi wektora w bazie. Po wybraniu bazy każdy wektor jest jednoznacznie wyznaczony przez ciąg swych współrzędnych w tej bazie.
Na przykład, w przestrzeni euklidesowej R2 bazę tworzy zbiór {(1, 1), (0, 1)}. Wektor (–3, 1) daje się zapisać jako (–3, 1) = –3·(1, 1) + 4·(0, 1). Liczby –3 i 4 są współrzędnymi wektora (–3, 1) w wybranej bazie. W innej bazie te same liczby będą współrzędnymi innego wektora.
Każda przestrzeń liniowa ma bazę (fakt ten jest równoważny aksjomatowi wyboru); wszystkie bazy przestrzeni liniowej są równoliczne.
[edytuj] Wymiar przestrzeni
Moc dowolnej bazy przestrzeni V nazywamy wymiarem przestrzeni liniowej i oznaczamy symbolem dim(V).
[edytuj] Przestrzeń liniowa unormowana
Przestrzeń na której określona jest funkcja normy
Przestrzeń, która ma bazę skończoną nazywamy skończenie wymiarową, w przeciwnym wypadku mówimy o przestrzeni nieskończenie wymiarowej.
[edytuj] Podprzestrzeń
Podprzestrzenią liniową przestrzeni V nad ciałem K nazywamy taki jej podzbiór U, który sam jest przestrzenią liniową nad ciałem K ze względu na działania określone w V.
Przykładami podprzestrzeni są: zbiór złożony z wektora zerowego i cała przestrzeń. Nietrywialnym przykładem jest podzbiór przestrzeni euklidesowej R2 złożony z wszystkich wektorów postaci (x, 0).
[edytuj] Przykłady
Przestrzenie liniowe w naturalny sposób pojawiają się w wielu działach matematyki.
[edytuj] Płaszczyzna
Wektorami są tu klasycznie pojmowane wektory na płaszczyźnie, a skalarami - liczby rzeczywiste. Bazę płaszczyzny tworzy dowolny zbiór złożony z dwu nierównoległych wektorów. Podobnie można pojmować każdą przestrzeń euklidesową (uwaga: mówienie, że płaszczyzna jest przestrzenią wektorową to nadużycie - staje się ona nią dopiero po wyposażeniu w strukturę dodawania wektorów i mnożenia ich przez skalary). Warto pamiętać, że wszystkie wektory płaszczyzny rozumianej jako przestrzeń wektorowa są zaczepione w początku układu współrzędnych. Aby dodawać wektory zaczepione w różnych punktach konieczne jest rozszerzenie przestrzeni wektorowej do przestrzeni afinicznej, w której wprowadzamy dodatkową operację przesunięcia równoległego.
[edytuj] Ciało jako przestrzeń liniowa
Każde ciało (matematyka) można rozpatrywać jako przestrzeń liniową nad jego dowolnym podciałem. Na przykład, ciało liczb zespolonych jest przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych. Wymiar tej przestrzeni wynosi 2 – jest ona izomorficzna z płaszczyzną euklidesową.
Podobnie, ciało liczb rzeczywistych jest przestrzenią liniową nad ciałem liczb wymiernych. Jest to przestrzeń nieskończenie wymiarowa (wymiaru continuum). Dowolną bazę tej przestrzeni nazywamy bazą Hamela.
[edytuj] Przestrzeń Kn
Dla dowolnej liczby naturalnej n, rozważmy zbiór wszystkich uporządkowanych układów n skalarów z ciała K: Kn = {(k1, k2, ..., kn): ki należy do K dla i = 1, 2, ..., n}. Jeżeli określić dodawanie takich układów wzorem:
- (k1, k2, ..., kn) + (l1, l2, ..., ln) = (k1 + l1, k2 + l2, ..., kn + ln)
oraz mnożenie przez skalar α wzorem:
- α·(k1, k2, ..., kn) = (α·k1, α·k2, ..., α·kn),
to otrzymamy n-wymiarową przestrzeń liniową nad ciałem K. Jeżeli przyjąć tu K = R, otrzymujemy n-wymiarową przestrzeń euklidesową.
[edytuj] Przestrzenie funkcyjne
Wektorami są tu funkcje rzeczywiste (lub zespolone) określone na pewnym zbiorze X, zaś skalarami liczby rzeczywiste (zespolone w przypadku zespolonym). Dodawanie funkcji (wektorów) jest określone wzorem:
- (f+g)(x) = f(x) + g(x),
a mnożenie funkcji (wektora) przez liczbę wzorem:
- (α·f)(x) = α·f(x)
Na przykład, dodając funkcje f(x) = 2x i g(x) = x2 – x otrzymamy funkcję y = x2 + x; mnożąc f przez – 2 otrzymamy funkcję y = – 4x.
Jeżeli zbiór X jest nieskończony, to tak otrzymana przestrzeń jest nieskończenie wymiarowa.
Określając w zbiorze X dodatkowe struktury (np. przestrzeni topologicznej) otrzymujemy przestrzenie liniowe o specyficznych własnościach, które są przedmiotami badań odrębnych działów matematyki – topologii, analizy matematycznej lub analizy funkcjonalnej.
[edytuj] Przestrzeń funkcji ograniczonych
Niech X będzie dowolnym zbiorem. Zbiór B(X) wszystkich funkcji ograniczonych na X jest przestrzenią liniową.
[edytuj] Przestrzeń funkcji ciągłych
Niech X będzie przedziałem domkniętym. Zbiór C(X) wszystkich funkcji ciągłych na X jest p. liniową.
[edytuj] Przestrzeń funkcji różniczkowalnych
Niech X będzie przedziałem otwartym. Zbiór C′(X) wszystkich funkcji różniczkowalnych na X jest przestrzenią liniową.
[edytuj] Przestrzeń ciągów bezwzględnie sumowalnych
Niech X = N – rozważmy zbiór l1 wszystkich ciągów x=(x1, x2, x3, ...) dla których szereg liczbowy ∑|xi| jest zbieżny. Z nierówności trójkąta wynika, że suma dwóch ciągów o opisanej własności znów ma tę własność, a to oznacza, że otrzymana przestrzeń jest przestrzenią liniową.
[edytuj] Przestrzeń ciągów sumowalnych z kwadratem
Niech X = N – rozważmy zbiór l2 wszystkich ciągów x=(x1, x2, x3, ...) dla których szereg liczbowy ∑|xi|2 jest zbieżny. Z nierówności Schwarza wynika, że suma dwóch ciągów o opisanej własności znów ma opisaną własność, a to oznacza, że otrzymana przestrzeń jest przestrzenią liniową.
[edytuj] Przestrzeń macierzy nad ciałem
Zbiór wszystkich macierzy wymiaru n×m nad danym ciałem tworzy przestrzeń liniową nad tym ciałem. Jej wymiar jest równy n·m.
[edytuj] Wielomiany
Pierścień K[X] wielomianów o współczynnikach w ciele K jest przestrzenią liniową nad K. Jest to przestrzeń nieskończenie wymiarowa, jej bazą jest np. zbiór wielomianów {1, X, X2, X3,...}.
[edytuj] Morfizmy przestrzeni liniowych
Niech F : X → Y będzie przekształceniem liniowym z przestrzeni liniowej X do Y. F nazywa się izomorfizmem, gdy jest funkcją wzajemnie jednoznaczną.
Dwie przestrzenie liniowe są izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy mają ten sam wymiar.
