Schrödingerekvationen

Wikipedia

I fysiken beskriver schrödingerekvationen, föreslagen av den österrikiske fysikern Erwin Schrödinger år 1925, tidsberoendet för kvantmekaniska system. Den är av central betydelse för icke-relativistisk kvantmekanik, där den spelar en roll analog med Newtons andra lag i klassisk mekanik. Schrödingerekvationen är empiriskt belagd. Ett fenomen är kvantiserat om dess lösning av Schrödinger-ekvation innehåller ett uppräkneligt antal energinivåer, s.k. kvantnivåer.

(För det relativistiska fallet, se Klein-Gordon-ekvationen och Diracekvationen.) Schrödinger grundlade sitt arbete på de Broglies ekvation som gav den korresponderande våglängden för en materiapartikel. Schrödinger misslyckades dock med att forma sin ekvation relativistiskt, och därför har ekvationen endast begränsad tillämpbarhet, till exempel på väteatomen.

I en rumsdimension har schrödingerekvationen formen

$i\hbar {\partial\psi(x,t)\over \partial t} = - {\hbar^2 \over 2m} { \partial^2\psi(x,t) \over \partial x^2}$

med den generella lösningen

${ 1 \over \sqrt{2\pi\hbar}} \int dp \phi(p)e^{i[px-{p^2 \over 2m} t ]\over \hbar}.$

Att denna ekvation inte är kompatibel med speciella relativitetsteorin inses då differentialekvationen är av första ordningen i tiden, men av andra ordningen i variabeln x. Vidare kan sägas att $ψ(x, t)$ är en komplexvärd funktion (se komplexa tal) och att $\left| \psi(x,t) \right|$ är stor där partikeln förväntas vara. Max Born postulerade att funktionen $\left| \psi \right|^2$ motsvarar sannolikheten för att en partikel befinner sig i rumsintervallen $x + d x$ och inom tidsintervallen $t + d t .$ Detta medför att vi kan förstå normaliseringsfaktorn i lösningen ovan, då följande villkor ställs på lösningarna, eftersom en partikel med nödvändighet måste befinna sig någonstans i rummet.

$\int_{-\infty}^{\infty} dx \left| \psi(x,t) \right|^2 = 1$

I kvantmekanik är varje system associerat med ett komplext hilbertrum sådant att de möjliga tillstånden i systemet är beskrivet av en linjärkombination av enhetsvektorer i en sådan rymd. Respektive tillståndsvektor kodifierar sannolikheterna för utfallen av alla möjliga mätningar applicerade på system. Eftersom systemets tillstånd generellt förändras över tiden, är tillståndsvektorn en funktion över tiden. Schrödingerekvationen ger en kvantitativ beskrivning av förändringen av tillståndsvektorn.

Med användning av Diracs notation kan vi skriva tillståndvektorn vid tid t som |ψ(t)〉.

Schrödingerekvationen är då: