Векторний добуток

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Векторний добуток — одна з двох операцій добутку векторної алгебри. На відміну від скалярного добутку результатом векторного добутку є вектор, а не число.

Зміст

1 Визначення
- 1.1 Праві та ліві трійки векторів
2 Властивості векторного добутку
- 2.1 Алгебраїчні властивості
- 2.2 Геометричні властивості
3 Вираження векторного добутку через компоненти співмножників
4 Дивись також

[ред.] Визначення

Векторним добутком двох векторів a та b називається вектор c = [a, b], який задовольняє наступним вимогам:

|c| = |a||b|sinφ, де 0≤φ≤ $π$ - кут між a та b;
вектор c ортогональний до векторів a та b;
вектори a, b, c утворюють праву трійку векторів.

[ред.] Праві та ліві трійки векторів

Упорядкована трійка некомпланарних векторів називається правою (лівою), якщо з кінця третього вектору найкоротший поворот першого вектору до другого виконується проти (за) годинниковою стрілкою. Початки векторів припускаються суміщеними.

Права та ліва трійки некомпланарних векторів формують два незалежних базиси в тримірному просторі та не можуть бути суміщеними за допомогою одних тільки паралельних переносів та поворотів.

Праву (ліву) трійки векторів можна наочно уявити так. Після суміщення початків, вектори правої (лівої) трійка розташуються так як великий, незігнутий вказівний та середній пальці правої (лівої) руки.

[ред.] Властивості векторного добутку

[ред.] Алгебраїчні властивості

Векторний добуток антикомутативний:

[a, b] = -[b, a].

Векторний добуток лінійний:

[λa+μb, c] = λ[a, c]+μ[b, c].

Векторний добуток дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли співмножники колінеарні (паралельні).
Як наслідок з попередньої властивості, векторний добуток будь-якого вектору на самого себе дорівнює нулю:

[a, a] = 0.

[ред.] Геометричні властивості

Із визначення виходить, що модуль векторного добутку неколінеарних векторів чисельно дорівнює площі паралелограму який побудований на векторах-співмножниках.

S = |[a, b]|.