柯西—布尼亚科夫斯基—施瓦茨不等式
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數學上，柯西—施瓦茨不等式，又稱施瓦茨不等式或柯西—布尼亞科夫斯基—施瓦茨不等式，是一條很多場合都用得上的不等式，例如線性代數的矢量，數學分析的無窮級數和乘積的積分，和概率論的方差和協方差。不等式以奧古斯丁·路易·柯西(Augustin Louis Cauchy)，赫爾曼·阿曼杜斯·施瓦茨(Hermann Amandus Schwarz)，和維克托·雅科夫列維奇·布尼亞科夫斯基(Виктор Яковлевич Буняковский)命名。
。
等式成立當且僅當x和y是線性相關。
柯西—施瓦茨不等式的一個重要結果，是內積為連續函數。
柯西—施瓦茨不等式有另一形式，可以用範的寫法表示：
。
[编辑] 證明
- 實內積空間的情形：
- 注意到y = 0時不等式顯然成立，所以可假設
非零。對任意
，可知
-
。
- 現在取值
，代入後得到
-
。
- 因此有
。
- 複內積空間的情形
- 證明類上。對任意
，可知
-
。
- 現在取值，代入後得到
，
- 因此有
- 。
[编辑] 特例
- 對歐幾里得空間Rn，有
。
- 對平方可積的複值函數，有
。
這兩例可更一般化為赫爾德不等式。
- 在3維空間，有一個較強結果值得注意：原不等式可以增強至等式
。
