格 (数学)

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本文講述数学中的格。關於本條目名稱之其他意思，詳見「格」。

术语格(lattice)来源于描述这种次序的哈斯图的形状。

在数学中，格是其非空有限子集都有一个上确界(叫并)和一个下确界(叫交)的偏序集合(poset)。格也可以特征化为满足特定公理恒等式的代数结构。因为两个定义是等价的，格理论从序理论个泛代数二者提取内容。半格包括了格，依次包括 Heyting代数和布尔代数。这些"格样式"的结构都允许序理论和抽象代数的描述。

[编辑] 定义

[编辑] 序理论定义

设 $(L, \leq)$ 是一个偏序集，若对于任意的 $x, y \in L$ ， ${x, y}$ 都有最小上界和最大下界，则称 $(L, \leq)$ 构成一个格。

由于最小上界和最大下界的唯一性，可以把 ${x, y}$ 的最小上界和最大下界看成是 $x, y$ 的二元运算，分别用 $\vee$ 和 $\wedge$ 表示，即 $x \vee y$ 表示 $x$ 和 $y$ 的最小上界， $x \wedge y$ 表示 $x$ 和 $y$ 的最大下界。

有界格有一个最大元素和一个最小元素，按惯例分别指示为 1 和 0(也叫做顶和底)。任何格都可以通过增加一个最大元素和最小元素而转换成有界格。

使用容易的归纳论证，你可以演绎出任何格的所有非空有限子集的上确界(并)和下确界(交)的存在。一个很重要的格的种类是完全格。一个格是完全的，如果它的所有子集都有一个交和一个并，这对比于上述格的定义，这里只要求所有非空有限子集的交和并的存在。

[编辑] 抽象代数定义

另一种定义格的方式是将格定义为一种代数结构。一个格是一个代数结构 $(L, \vee, \wedge)$ ，其中 $\vee$ 和 $\wedge$ 是定义在集合 $L$ 上的二元运算，且对于所有的 $a, b, c \in L$ 满足：

交换律：	$a \vee b = b \vee a$	$a \wedge b = b \wedge a$
结合律：	$a \vee (b \vee c) = (a \vee b) \vee c$	$a \wedge (b \wedge c) = (a \wedge b) \wedge c$
吸收律：	$a \vee (a \wedge b) = a$	$a \wedge (a \vee b) = a$

从上述三个公理恒等式可以得出重要的：

幂等律：

$a \vee a = a$

$a \wedge a = a$

[编辑] 两个定义的等价性

通过定义

对于 $a, b \in S$ ， $a \leq b$ 当且仅当 $a \vee b = b$

易见通过偏序集和代数结构这两种方式定义格是完全等价的。

[编辑] 例子

设 $n$ 是正整数， $S n$ 是 $n$ 的正因子集合， $D$ 为整除关系，则偏序集 $(S n, D)$ 构成格。对于所有 $x, y \in S_n$ ， $x \vee y$ 是 $x$ 与 $y$ 的最小公倍数， $x \wedge y$ 是 $x$ 与 $y$ 的最大公约数。

[编辑] 对偶原理

设 $f$ 是含有格中的元素以及符号 $=, \leq, \geq, \vee, \wedge$ 的逻辑命题，令 $f *$ 是将 $f$ 中的 $\leq$ 替换为 $\geq$ ，将 $\geq$ 替换为 $\leq$ ，将 $\vee$ 替换为 $\wedge$ ，将 $\wedge$ 替换为 $\vee$ 后所得到的命题。则称 $f *$ 是 $f$ 的对偶命题。

设 $f$ 是含有格中的元素以及符号 $=, \leq, \geq, \vee, \wedge$ 的逻辑命题，若 $f$ 对于一切格为真，则 $f$ 的对偶命题 $f *$ 也对于一切格为真。

[编辑] 子格

设 $(L, \vee, \wedge)$ 是格， $S$ 是 $L$ 的非空子集，若 $(S, \vee, \wedge)$ 仍然是一个格，则称 $S$ 是 $L$ 的子格。

[编辑] 同态定理

设 $(L_1, \vee_1, \wedge_1)$ 和 $(L_2, \vee_2, \wedge_2)$ 是格， $f$ 是从 $L 1$ 到 $L 2$ 的映射，

若 $f$ 是同态映射，则 $f$ 是保序映射，即 $\forall x, y \in L_1$ ，有 $x \leq_1 y \implies f(x) \leq_2 f(y)$
若 $f$ 是双射，则 $f$ 是同构映射当且仅当 $\forall x, y \in L_1$ ，有 $x \leq_1 y \implies f(x) \leq_2 f(y)$