龙格－库塔法

数值分析中，龙格－库塔法（Runge-Kutta）是用于模拟常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法。这些技术由数学家龙格和库塔于1900年左右发明。

背景知识和其它方法请参看数值常微分方程条目。

[编辑] 经典四阶龙格库塔法

龙格库塔法的家族中的一个成员如此常用，以至于经常被称为“RK4”或者就是“龙格库塔法”。

令初值问题表述如下。

$y' = f(t, y), \quad y(t_0) = y_0$

则，对于该问题的RK4由如下方程给出：

$y_{n+1} = y_n + {h \over 6} (k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4)$

其中

$k_1 = f \left( t_n, y_n \right)$

$k_2 = f \left( t_n + {h \over 2}, y_n + {h \over 2} k_1 \right)$

$k_3 = f \left( t_n + {h \over 2}, y_n + {h \over 2} k_2 \right)$

$k_4 = f \left( t_n + h, y_n + hk_3 \right)$

这样，下一个值(y_n+1)由现在的值(y_n)加上时间间隔(h)和一个估算的斜率的乘积决定。该斜率是以下斜率的加权平均：

当四个斜率取平均时，中点的斜率有更大的权值：

$\mbox{slope} = \frac{k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4}{6}.$

RK4法是四阶方法，也就是说每步的误差是h⁵阶，而总积累误差为h⁴阶。

注意上述公式对于标量或者向量函数(y可以是向量)都适用。

显示龙格－库塔法是上述RK4法的一个推广。它由下式给出

$y_{n+1} = y_n + h\sum_{i=1}^s b_i k_i,$

其中

$k_1 = f(t_n, y_n), \,$

$k_2 = f(t_n+c_2h, y_n+a_{21}hk_1), \,$

$k_3 = f(t_n+c_3h, y_n+a_{31}hk_1+a_{32}hk_2), \,$

$\vdots$

$k_s = f(t_n+c_sh, y_n+a_{s1}hk_1+a_{s2}hk_2+\cdots+a_{s,s-1}hk_{s-1}).$

(注意：上述方程在不同著述中由不同但却等价的定义)。

要给定一个特定的方法，必须提供整数s (阶段数)，以及系数 a_ij (对于1 ≤ j < i ≤ s), b_i (对于i = 1, 2, ..., s)和c_i (对于i = 2, 3, ..., s)。这些数据通常排列在一个助记工具中，称为龙格库塔表：

龙格库塔法是自洽的，如果

$\sum_{j=1}^{i-1} a_{ij} = c_i\ \mathrm{for}\ i=2, \ldots, s.$

如果要求方法有精度p则还有相应的条件，也就是要求舍入误差为O(h^p+1)时的条件。这些可以从舍入误差本身的定义中导出。例如，一个2阶精度的2段方法要求b₁ + b₂ = 1, b₂c₂ = 1/2, 以及b₂a₂₁ = 1/2。

RK4法处于这个框架之内。其表为：

George E. Forsythe, Michael A. Malcolm, and Cleve B. Moler. Computer Methods for Mathematical Computations. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1977. (See Chapter 6.)
Ernst Hairer, Syvert Paul Nørsett, and Gerhard Wanner. Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, second edition. Berlin: Springer Verlag, 1993. ISBN 3-540-56670-8.
William H. Press, Brian P. Flannery, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Sections 16.1 and 16.2.)