DFT

De Viquipèdia

Taula de continguts

1 DFT (Transformada Discreta de Fourier)

[edita] DFT (Transformada Discreta de Fourier)

[edita] Definició

La Transformada Discreta de Fourier ( de l’Anglès DFT o Discrete Fourier Transform), és una operació que permet obtenir la versió mostrejada de la Transformada de Fourier d’un senyal discret (DTFT).

Primerament, seria bo de relacionar la DFT amb la DTFT o Discrete Time Fourier Transform. Aquesta última permet passar un senyal del domini temporal al domini freqüèncial. El senyal resultant té la particularitat que és continu i de variable real, tot i que aquesta operació s’aplica en un senyal discret.

Així doncs si s'observa la definició de la DTFT:

$X(w) = \sum_{n=-\infty}^\infty x[n]e^{-jwn}$

veiem que podem mostrejar aquesta senyal per a N mostres de la següent manera:

A partir de l’expressió $\frac{w}{2\pi}=\frac{k}{n}$ , es pot trobar la freqüencia angular d’un senyal discret. S’arribaria a tenir $X n [k]$ substituint, simplement, $ω$ per $\frac{2\pi k}{n}$ . Amb això es tindria un senyal discret de N mostres. Aquest cas seria la discretització de la Transformada de Fourier d’un senyal discret.

${X_n}[w] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n]e^{\frac{-j2\pi kn}{N}}$

On $ω$ és la freqüència angular, N el nombre de mostres desitjades, k la variable independent del senyal obtingut i n la variable independent del senyal original.

També es pot realitzar la Transformada discreta de Fourier inversa (IDFT o Inverse Discrete Time Transform) a partir d’un procediment molt similar al que s’aplica a la Transformada inversa de Fourier per a senyals continus. Les modificacions que cal aplicar respecte la DFT són les següents:

Un factor 1/N que afecti tot el sumatori.
Un coeficient –1 a l’exponencial.

Com es pot veure, queda un exponent positiu i el factor 1/N multiplicant. A partir d’aquesta formula s’aconsegueix recuperar, doncs, el senyal original, en funció de n.

$x[n] = \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} x[k]e^{\frac{j2\pi kn}{N}} \$

[edita] Propietats

[edita] Aliasing

Per tal de tenir un senyal que es cenyeixi a la realitat, N ha de cumplir el criteri de Nyquist. El número de mostres ha de ser el doble de la llargada del senyal original. Ens serveix per no tenir aliasing.

[edita] Periodicitat N

Si s’agafen N mostres de $ω$ a l’interval 0 i 2 $π$ , és innecessari agafar més de N mostres ja que la TF és 2 $π$ -periòdica.

$X_N[k]=X_N[k+n] \$

[edita] Linealitat

${\alpha DFT [x[n]]+ \beta DFT [x[n]] = \alpha X_N[k]+ \beta X_N[k]} \$

${ DFT [\alpha x[n]]+ DFT [\beta x[n]] = \alpha X_N[k]+ \beta X_N[k]} \$

[edita] Desplaçament

S’observa que un desplaçament al senyal original fa apareixer una exponencial complexa. Aquesta no modifica l’amplitud del senyal ja que té mòdul 1.

$x[n-m] \rightarrow X_N[k]e^{ \frac{-j2 \pi km}{N}} \$

$|x[n-m]| \rightarrow |X_N[k]| \$

[edita] Modulació

El cas contrari al desplaçament. Si el senyal original està multiplicat per una exponencial complexa, produirà un desplaçament a la DFT. L’exponencial no afecta a l’amplitud perquè el seu mòdul és 1.

$e^{ \frac{-j2 \pi km}{N}}x[n] \Rightarrow X_N[k-m] \$

$|x[n]| \Rightarrow |X_N[k-m]| \$

[edita] Convolució

Existeix un analogisme amb els senyals continus. Aquesta propietat es compleix en ambdós tipus de senyals. S’utilitza molts cops per a simplificar càlculs ja que el producte és una operació molt més fàcil de realitzar.

$x[n]*h[n]=X_N[k]H[k] \$

[edita] Exemple

Per un senyal mostrejat de durada 4 mostres tals que $x[n]= \$ {1 1 1 1} (pols de durada 4 mostres) Es pot veure que si es fa la DFT per a N=8 mostres s’obté: