Formulació lagrangiana

De Viquipèdia

La formulació lagrangiana o mecànica lagrangiana és una reformulació de la mecànica clàssica newtoniana introduïda per Joseph Louis Lagrange el 1788. En la formulació lagrangiana, la trajectòria d'un objecte es troba buscant la trajectòria tal que l'acció, S, té un valor estacionari ( $δ S = 0$ ). L'acció és la suma (la integral, de fet) en el temps d'una funció anomenada lagrangià, definida com la l'energia cinètica menys l'energia potencial. Cal remarcar que no es tracta de cap teoria nova, és simplement la mecànica newtoniana amb eines matemàtiques més sofisticades. L'avantatge és que en aquest cas, el plantejament i les equacions resultants que cal resoldre són molt més simples.

En la pràctica, resoldre un problema amb el formulisme de Lagrange es redueix, en primer lloc, a trobar un bon sistema de coordenades (per «bon sistema» entenem un que simplifiqui al màxim el plantejament del problema) i a continuació calcular l'energia cinètica i potencial del sistema; una vegada trobades només cal resoldre les equacions de Lagrange per a cada coordenada, que són equacions diferencials i que explicarem a continuació.

[edita] Les equacions de Lagrange

Per treure el màxim partit d'aquesta secció es recomana la lectura prèvia de l'article o articles:

Les equacions de moviment d'un cos en la formulació lagrangiana són les anomenades equacions de Lagrange, també conegudes com equacions d'Euler-Lagrange. Si considerem una partícula de massa m, amb velocitat v i posició r i sotmesa a una força F, la segona llei de Newton es pot escriure, recordant que la quantitat de moviment p és m·v, com

$\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt} = \vec{v}\frac{dm}{dt} + m\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}$

que és un conjunt de 3 equacions diferencials de segon ordre (una per a cada component de r: x, y i z). Per tant el moviment de la partícula es pot descriure amb 6 variables independents, o graus de llibertat. Un conjunt evident de variables és les tres components de r i les tres components de la velocitat (dr/dt) en un moment donat. Però aquesta tria no és l'única; es pot treballar amb qualsevol conjunt independent de coordenades i derivades de coordenades que anomenarem coordenades generalitzades q_j i velocitats generalitzades q'_j. La relació entre les coordenades generalitzades i les cartesianes r_i es podrà expressar amb una equació de transformació

$\vec{r} = \vec{r}(q_i , q_j , q_k, t)$

Coordenades generalitzades: exemple d'un pèndol simple

En un pèndol simple de longitud l i massa m sembla més senzill escollir com a coordenades l'angle θ respecte a la vertical i la velocitat angular que no les coordenades cartesianes. Fixem-nos que n'hi ha prou amb aquestes dues variables per definir el moviment del pèndol, però considerant les coordenades cartesianes x i y i les velocitats respectives podria semblar que en necessitem quatre; en realitat, però, com el pèndol està lligat per la corda, està obligat a desplaçar-se per una circumferència de radi l, de manera que x i y no són realment independents, hi ha un lligam entre elles: x² + y² = l². En definitiva doncs, voldrem utlitzar θ i dθ/dt en lloc de x i dx/dt; en aquest cas tenim una equació de transformació que ens permetrà passar de les coordenades x i y a la coordenada θ:

$\vec{r}(\theta, \theta ', t) = (l \sin \theta, l \cos \theta)$

és a dir que x = l·sinθ i y = l·cosθ. El terme «coordenades generalitzades» és realment una relíquia de l'època en què les coordenades cartesianes eren considerades les més «normals».

Ara considerem un desplaçament arbitrari de la partícula, δ. El treball fet per la força F sobre la partícula serà δW = F · δr. Amb la segona llei de Newton podem escriure:

$\vec{F} \cdot \delta \vec{r} = m\frac{d^2\vec{r}}{dt^2} \cdot \delta \vec{r}$

Com el treball és una quantitat escalar, podrem escriure aquesta equació en termes de les coordenades i velocitats generalitzades. A la banda esquerra tenim:

$\begin{matrix} \vec{F} \cdot \delta \vec{r} & = & - \nabla V \cdot \sum_i {\partial \vec{r} \over \partial q_i} \delta q_i \\ \\ & = & - \sum_{i,j} {\partial V \over \partial r_j} {\partial r_j \over \partial q_i} \delta q_i \\ \\ & = & - \sum_i {\partial V \over \partial q_i} \delta q_i. \\ \end{matrix}$

La banda dreta és una mica més difícil, però es pot arribar a:

$m \frac{d^2\vec{r}}{dt^2} \cdot \delta \vec{r} = \sum_i \left[{d \over dt}{\partial T \over \partial q'_i}-{\partial T \over \partial q_i}\right]\delta q_i$

$T = \frac{1}{2}m\frac{d\vec{r}}{dt}$

és l'energia cinètica de la partícula. Ara podem ajuntar els dos termes i obtenim

$\sum_i \left[{d\over dt}{\partial{T}\over \partial{q'_i}}-{\partial{(T-V)}\over \partial q_i}\right] \delta q_i = 0.$

Però això ha de ser cert per a qualsevol conjunt de desplaçaments generalitzats δq_i, de manera que el que ha dd'anul·lar-se és la part de dins del parèntesi i hem de tenir que

$\left[ {d\over dt}{\partial{T}\over \partial{q'_i}}-{\partial{(T-V)}\over \partial q_i}\right] = 0$

per a cada coordenada generalitzada δq_i. Com V només és funció de r i de t, i r és funció de les coordenades generalitzades i de t, V és independent de les velocitats generalitzades:

${d\over dt}{\partial{V}\over \partial{q'_i}} = 0.$

i per tant, podem afegir V al primer terme de la resta anterior sense cap problema (sempre donarà 0). Si ho fem i definim la quantitat anomenada lagrangià, que és simplement la resta de l'energia cinètica i la potencial, L = T - V, obtenim les equacions de Lagrange:

${\partial{L}\over \partial q_i} = {d\over dt}{\partial{L}\over \partial{q'_i}}$

Hi ha una equació de Lagrange per a cada coordenada generalitzada. Per a resoldre un problema concret només cal determinar un bon conjunt de coordenades generalitzades, determinar T i V i resoldre les equacions de Lgarange per a cada coordenada generalitzada.

Exemple: el pèndol simple utilitzant les equacions de Lagrange

Com a exemple d'aplicació de la formulació de Lagrange resoldrem el senzill problema del moviment d'un pèndol simple, sotmès a la força de gravetat. Com ja hem vista abans, el pèndol té un sol grau de llibertat (la seva posició queda unívocament determinada amb una sola coordenada, sigui x o θ. Per a la descripció del moviment del pèndol és molt més simple utilitzar θ i és aquesta, doncs, la coordenada generalitzada que utilitzarem. Ara cal determinar l'energia cinètica i la potencial. Per a això recordem que la velocitat lineal de la partícula v és igual a l·ω, on ω és la velocitat angular que, òbviament és igual a dθ/dt; llavors,

$T = \frac{1}{2}m l^2 \left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2$